Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce.

On the integrals of algebraic total differentials of the first kind.

Émile Picard · 1885 · Journal de mathématiques pures et appliquées, vol. 4e série, tome 1, pp. 281–346 · AI draft — Machine output, not yet human-checked. Treat it as a working draft and check anything that matters against the scan. How review levels work →

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Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce;

Par M. Émile Picard.

On sait quelle est, en Analyse, l'importance des intégrales \[ \int P(x, y)\,dx, \tag{1} \] où $P(x, y)$ désigne une fonction rationnelle de $x$ et $y$, et où $y$ est la fonction algébrique de $x$ définie par la relation \[ f(x, y) = 0, \] $f$ étant un polynôme. Ces intégrales ont été partagées en trois espèces; nous n'avons besoin ici que de rappeler la définition des intégrales de première espèce : une intégrale telle que (1) est dite de première espèce quand elle reste finie pour toute valeur, finie ou infinie, de la variable $x$.

Considérons maintenant une fonction algébrique $z$ de deux variables indépendantes de $x$ et $y$, définie par l'équation irréductible \[ f(x, y, z) = 0, \] où $f$ est un polynôme. On peut faire correspondre à cette surface des intégrales de différentielles totales de la forme \[ \int P(x, y, z)\,dx + Q(x, y, z)\,dy, \tag{2} \]

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où $P$ et $Q$ sont des fonctions rationnelles de $x$, $y$ et $z$; ces deux fonctions ne peuvent, bien entendu, être prises arbitrairement, et la condition d'intégrabilité de l'expression différentielle \[ P\,dx + Q\,dy \] doit être supposée satisfaite.

Les intégrales de la forme (2) sont susceptibles d'une classification analogue à celle qui vient d'être rappelée pour les intégrales de différentielles algébriques, dans le cas d'une seule variable. Nous ne voulons considérer dans ce travail que les intégrales de différentielles totales de première espèce ${}^{(1)}$, c'est-à-dire celles qui restent finies pour tout système de valeurs, finies ou infinies, des variables indépendantes $x$ et $y$.

Dès le début de cette étude, on rencontre une différence bien profonde entre le cas d'une variable et celui de deux variables. On sait, en effet, qu'à une courbe algébrique correspondent en général des intégrales de première espèce; ainsi, pour parler plus nettement, la courbe la plus générale d'un degré donné $m$ possède un certain nombre, bien connu, d'intégrales de première espèce, linéairement indépendantes.

Il n'en est pas ainsi pour les surfaces algébriques : il n'existe pas d'intégrales de différentielles totales de première espèce, correspondant à la surface la plus générale de degré $m$. Comment peut-on reconnaitre si une surface donnée possède des intégrales de première espèce, et quel est le nombre de ces intégrales linéairement indépendantes? Telles sont les questions dont nous nous occupons dans les deux premiers Chapitres de ce Mémoire.

Le troisième Chapitre est consacré à l'étude d'une classe de surfaces algébriques, dans laquelle la notion des intégrales de première espèce joue un rôle important : ce sont les surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un point quelconque s'expriment par des fonctions uniformes

(1) Sur les intégrales de seconde espèce, j'ai déjà présenté quelques considérations dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (mars 1885); l'étude de ces intégrales et de celles de troisième espèce fera l'objet d'un autre Mémoire.

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quadruplement périodiques de deux paramètres, et nous y ajoutons cette autre condition qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs des deux paramètres, abstraction faite, bien entendu, des multiples des périodes. Tel ne serait pas, par exemple, le cas de la surface célèbre du quatrième degré découverte par Kummer; les coordonnées d'un point de cette surface s'expriment bien par des fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux paramètres; mais il est facile de vérifier que, dans ce cas, à un point arbitraire de la surface correspondent deux systèmes distincts de valeurs de ces paramètres. Nous montrons comment on peut reconnaitre si une surface donnée est susceptible d'avoir les coordonnées d'un quelconque de ses points exprimées, de la manière indiquée, par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres. Il faut aller jusqu'aux surfaces du sixième degré pour rencontrer une surface jouissant de cette propriété.

Nous terminons ce travail par l'étude des équations de la forme \[ f\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right) = 0, \] nous proposant de reconnaitre si l'on peut satisfaire à cette équation, en prenant pour $u$ une fonction uniforme quadruplement périodique de $x$ et $y$; c'est, comme on voit, la généralisation d'un problème traité par MM. Briot et Bouquet dans leur beau Mémoire sur l'intégration des équations différentielles de la forme \[ f\left(u, \frac{du}{dz}\right) = 0 \] au moyen des fonctions elliptiques.

PREMIÈRE PARTIE.

1. Soit donnée une relation algébrique de degré $m$ \[ F(x, y, z) = 0 \] définissant une fonction algébrique $z$ de $x$ et $y$, et considérons la différentielle

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totale \[ \frac{P\,dx + Q\,dy}{M}, \] où $P$, $Q$ et $M$ sont des polynômes en $x$, $y$ et $z$, et pour laquelle la condition d'intégrabilité est supposée satisfaite.

Effectuons sur $x$, $y$, $z$ une transformation homographique quelconque \[ \begin{aligned} x &= \frac{a_{1}x' + b_{1}y' + c_{1}z' + d_{1}}{ax' + by' + cz' + d},\\ y &= \frac{a_{2}x' + b_{2}y' + c_{2}z' + d_{2}}{ax' + by' + cz' + d},\\ z &= \frac{a_{3}x' + b_{3}y' + c_{3}z' + d_{4}}{ax' + by' + cz' + d}; \end{aligned} \] la relation précédente deviendra \[ f(x', y', z') = 0. \]

Différentions $x$ et $y$, on aura \[ dx = \frac{A\,dx' + B\,dy'}{(ax' + by' + cz' + d)^{2}\dfrac{\partial f}{\partial z'}}, \quad dy = -\frac{A_{1}\,dx' + B_{1}\,dy'}{(ax' + by' + cz' + d)^{2}\dfrac{\partial f}{\partial z'}}. \] $A$ et $A_{1}$ étant des polynômes en $x'$, $y'$, $z'$, de degré $m - 1$ par rapport à $x'$ et $z'$, et de degré $m$ par rapport à $y'$; de même $B$ et $B_{1}$ sont des polynômes de degré $m - 1$ en $y'$ et $z'$, et de degré $m$ par rapport à $x'$.

Si maintenant $n'$ est le degré de $P$ et $Q$, et $n$ celui de $M$, on aura \[ \frac{P}{M} = \frac{P'}{M'(ax' + by' + cz' + d)^{n'-n}}, \quad \frac{Q}{M} = \frac{Q'}{M'(ax' + by' + cz' + d)^{n'-n}}, \] $P'$ et $Q'$ étant de degré $n'$, et $M'$ du degré $n$.

Il s'ensuit que l'expression précédente prend la forme, en supprimant les accents, \[ \frac{P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy}{M_{1}f'_{z}(x, y, z)}, \] en désignant par $\mu$ le degré de $M_{1}$ par rapport à $x$, $y$ et $z$; le degré

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de $P_{1}$ par rapport à $x$ et $z$ est $\mu + m - 3$, et par rapport à $y$ est $\mu + m - 2$; de même pour $Q_{1}$ le degré par rapport à $y$ et $z$ est $\mu + m - 3$, et $\mu + m - 2$ par rapport à $x$.

La différentielle totale étant mise sous cette forme, envisageons maintenant l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy}{M_{1}f'_{z}}, \] et supposons que, pour toute valeur finie ou infinie de $x$ et $y$, cette intégrale reste finie; cherchons quelle conséquence on pourra en tirer : $z$ est définie en fonction de $x$ et $y$ par la relation \[ f(x, y, z) = 0 \] de degré $m$, et nous pouvons évidemment supposer qu'elle renferme un terme en $z^{m}$.

Si nous laissons d'abord $y$ constant, faisant seulement varier $x$, nous aurons une intégrale abélienne ordinaire de première espèce, et, pour qu'elle soit de première espèce, il est nécessaire que $M_{1}$ ne dépende pas de $x$; le même raisonnement, appliqué à $y$, nous montre que $M_{1}$ ne peut dépendre de $y$. Nous arrivons donc de suite à cette conclusion que $M_{1}$ doit être une constante, et nous écrirons l'intégrale sous la forme \[ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{P\,dx + Q\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \tag{1} \] $P$ est un polynôme de degré $m - 2$ en $x$, $y$, $z$, et de degré $m - 3$ en $x$ et $z$; pareillement, $Q$ est un polynôme de degré $m - 2$ en $x$, $y$ et $z$, et de degré $m - 3$ en $y$ et $z$.

2. Nous avons jusqu'ici laissé de côté la condition d'intégrabilité que nous avons maintenant à considérer. On aura \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{P}{f'_{z}}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Q}{f'_{z}}\right), \] en considérant $z$ comme fonction de $x$ et $y$. Cette relation pourra

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s'écrire \[ \begin{aligned} &\left(\frac{\partial P}{\partial y}f'_{z} - \frac{\partial P}{\partial z}f'_{y}\right)f'_{z} - P(f''_{zy}f'_{z} - f''_{zz}f'_{y}) \\ &\qquad - \left(\frac{\partial Q}{\partial x}f'_{z} - f'_{x}\frac{\partial Q}{\partial z}\right)f'_{z} + Q(f''_{zx}f'_{z} - f''_{zz}f'_{x}) = 0. \end{aligned} \]

Le premier membre de cette égalité est un polynôme en $x$, $y$ et $z$; il n'est pas nécessairement nul identiquement, mais seulement en vertu de l'équation \[ f(x, y, z) = 0; \] on reconnait facilement que l'on peut écrire la relation précédente sous la forme \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}}\right) = 0. \tag{1} \]

Or, si dans l'intégrale (1) nous prenons $x$ et $z$ pour variables au lieu de $x$ et $y$, nous devons tomber sur une expression de même forme; or l'intégrale devient \[ \int \frac{\left(\dfrac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}}\right)\,dx - Q\,dz}{f'_{y}}. \]

Il est donc nécessaire que l'expression \[ \frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}} \] puisse, en vertu de l'équation $f(x, y, z) = 0$, se mettre sous la forme d'un polynôme en $x$, $y$ et $z$. Posons donc \[ \frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}} = R, \] ou, en écrivant sous forme d'identité indépendamment de l'équation $f = 0$, \[ Pf'_{y} - Qf'_{x} - Rf'_{z} = Nf(x, y, z), \tag{2} \] $N$ étant aussi un polynôme.

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Ceci posé, revenons à l'équation (1) qui pourra s'écrire \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial z} + N + f(x, y, z)\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{N}{f'_{z}}\right) = 0. \]

On a par conséquent, en vertu de $f = 0$, \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial z} + N = 0. \tag{3} \]

Mais $P$, $Q$, $R$ et $N$ sont des polynômes de degré inférieur à $m$. Si donc, comme nous le supposons, le polynôme $f(x, y, z)$ n'est pas un produit de polynômes de degré moindre, l'égalité précédente sera une identité, quels que soient $x$, $y$ et $z$.

$P$ est de degré $m - 3$ par rapport à $x$ et à $z$, et de degré $m - 2$ en $y$; $Q$ est de degré $m - 3$ en $y$ et $z$, et de degré $m - 2$ en $x$; enfin $R$ est de degré $m - 3$ par rapport à $x$ et $y$, et de degré $m - 2$ par rapport à $z$, et ces trois polynômes sont de degré $m - 2$ en $x$, $y$, $z$ pris simultanément. Quant à $N$, il est de degré $m - 3$ en $x$, $y$ et $z$.

Posons \[ Q = -A, \quad P = +B, \quad R = -C. \]

Les identités (2) et (3) se résumeront dans l'identité unique \[ Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} = \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right)f(x, y, z). \]

Ainsi on doit pouvoir trouver trois polynômes $A$, $B$, $C$ des degrés indiqués par rapport aux variables $x$, $y$, $z$, et tels que l'identité précédente soit vérifiée.

3. Nous pouvons approfondir davantage la forme des polynômes $A$, $B$, $C$. Ceux-ci sont nécessairement de la forme \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\psi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z), \\ C &= z\chi(x, y, z) + C_{1}(x, y, z), \end{aligned} \]

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$\varphi$, $\psi$ et $\chi$ étant des polynômes homogènes en $x$, $y$ et $z$ de degré $m - 3$; quant à $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, ce sont des polynômes en $x$, $y$ et $z$ d'ordre $m - 3$.

Or considérons l'intégrale \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}. \]

Posons $y = \mu x$, $\mu$ étant une constante, nous aurons l'intégrale abélienne de première espèce \[ \int \frac{(B - A\mu)\,dx}{f'_{z}}; \] $B - A\mu$ devra être au plus du degré $m - 3$; donc l'expression \[ \mu x[\psi(x, \mu x, z) - \varphi(x, \mu x, z)] \] qui, dans $B - A\mu$, est du degré $m - 2$, devra être nulle, et l'on aura alors \[ \psi(x, \mu x, z) - \varphi(x, \mu x, z) = 0, \] quel que soit $\mu$; on en conclut, puisque $\psi$ et $\varphi$ sont homogenes, \[ \psi(x, y, z) = \varphi(x, y, z). \]

En mettant l'intégrale sous la forme \[ \int \frac{-C\,dx + A\,dz}{f'_{y}}, \] on démontrerait de la même manière que $\chi(x, y, z) = \varphi(x, y, z)$.

Nous arrivons à la conclusion suivante : \[ \varphi(x, y, z) = \psi(x, y, z) = \chi(x, y, z). \]

4. Nous venons de trouver les formes nécessaires des intégrales de différentielles totales, qui restent finies. Nous avons maintenant à nous demander si les intégrales remplissant les questions précédentes restent toujours finies.

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Nous supposons donc que l'on ait, après une transformation homographique quelconque, la surface \[ f(x, y, z) = 0. \]

Celle-ci ne possède que des singularités ordinaires, c'est-à-dire soit des points doubles isolés, pour lesquels le cône des tangentes ne se réduise pas à deux plans, soit des courbes doubles, sans points singuliers, pour lesquelles les deux plans tangents à la surface en chaque point seront toujours distincts.

Nous supposons que l'on puisse trouver trois polynômes $A$, $B$, $C$ satisfaisant aux conditions suivantes : le premier $A$ est au plus de degré $m - 2$ par rapport à $x$, et de degré $m - 3$ par rapport à $y$ et $z$, $B$ est de degré $m - 2$ par rapport à $y$, et de degré $m - 3$ par rapport à $x$ et $z$, enfin $C$ est de degré $m - 2$ en $z$, et de degré $m - 3$ en $x$ et $y$. On a d'ailleurs l'identité \[ A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z) \tag{2} \]

Ceci posé, considérons l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \] la condition d'intégrabilité sera remplie, car elle se réduit (nº 1) à \[ - \frac{\partial B}{\partial y} - \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{B f'_{y} + A f'_{x}}{f'_{z}} \right) = 0. \]

Or, d'après l'identité, on a, en tenant compte de $f(x, y, z) = 0$, \[ \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{B f'_{y} + A f'_{x}}{f'_{z}} \right) = - \frac{\partial C}{\partial z} + \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}, \] et, par suite, la condition d'intégrabilité est vérifiée.

Nous allons chercher si l'intégrale reste finie pour toute valeur du point analytique $(x, y, z)$.

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5. Ne considérons d'abord que des points à distance finie. Si $(x, y, z)$ n'est pas un point double de la surface, il n'y a aucune difficulté, car le résultat apparait immédiatement, en employant l'une ou l'autre des trois formes de l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} = \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{- C\,dx + A\,dz}{f'_{y}(x, y, z)} = \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{C\,dy - B\,dz}{f'_{x}(x, y, z)}. \]

Supposons, en second lieu, que $(x, y, z)$ tende vers un point double isolé $(a, b, c)$ de la surface. On remarquera d'abord que les surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] passent par ce point; on a, en effet, en différentiant l'identité (2) par rapport à $x$, $y$ et $z$, et faisant $x = a$, $y = b$, $z = c$, \[ \begin{aligned} A(a, b, c) f''_{aa} + B(a, b, c) f''_{ab} + C(a, b, c) f''_{ac} &= 0, \\ A(a, b, c) f''_{ab} + B(a, b, c) f''_{bb} + C(a, b, c) f''_{bc} &= 0, \\ A(a, b, c) f''_{ac} + B(a, b, c) f''_{bc} + C(a, b, c) f''_{cc} &= 0; \end{aligned} \] on en conclut que \[ A(a, b, c) = B(a, b, c) = C(a, b, c) = 0, \] puisque le déterminant des dérivées secondes de $f$ n'est pas nul au point $abc$, qui n'est pas un point biplanaire.

Posons \[ y = b + t(x - a), \] $t$ étant la variable que nous allons substituer à $y$, et soit \[ f(x, y, z) = \varphi(x - a, y - b, z - c) + \psi(x - a, y - b, z - c) + \ldots \] $\varphi$, $\psi$, … étant homogènes par rapport à $x - a$, $y - b$, $z - c$ et de degrés respectivement égaux à deux, trois, …, et $\varphi$ renfermant un terme en $(z - c)^{2}$; il en sera ainsi, si, ce qu'on peut supposer, les parallèles menées par $(a, b, c)$ aux axes de coordonnées ne sont pas sur le cône.

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De l'équation $f(x, y, z) = 0$ on déduira pour $z = c$ deux développements distincts ordonnés suivant les puissances croissantes de $x - a$, sauf pour les valeurs de $t$, telles que l'équation du second degré en $\theta$ \[ \varphi(1, t, \theta) = 0 \] ait une racine double; ces valeurs de $t$ sont évidemment au nombre de deux, et l'on peut les supposer finies, soient $t_{1}$ et $t_{2}$.

Ceci posé, $t$ ayant une valeur variable, mais ne tendant pas vers $t_{1}$ ou $t_{2}$, l'expression \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] prendra la forme \[ \frac{(B - At)\,dx - A(x - a)\,dt}{f'_{z}}. \]

Or $B$ et $A$ contiennent en facteur $(x - a)$, et $f'_{z}$ contient en facteur $(x - a)$, mais ne contient pas $(x - a)^{2}$. Il en résulte que l'intégrale tendra certainement vers une valeur finie, quand $(x, y, z)$ tendra vers $(a, b, c)$, de telle manière que le rapport $\dfrac{y - b}{x - a}$ ait une limite différente de $t_{1}$ ou $t_{2}$.

Il n'y a aucune difficulté à étudier le cas où le rapport $\dfrac{y - b}{x - a}$ tend vers $t_{1}$ ou $t_{2}$; il suffit, pour cela, d'employer une des autres formes de l'intégrale. Les plans parallèles aux plans de coordonnées passant par le point $(a, b, c)$ pouvant être supposés non tangents au cône, \[ \varphi(x - a, y - b, z - c) = 0, \] la difficulté qui se présentait relativement à $x$ et $y$ pris comme variables indépendantes ne se présentera plus avec $x$ et $z$, puisqu'un plan tangent à la surface conique ne peut passer à la fois par l'axe des $z$ et l'axe des $y$.

Nous voyons donc que, de quelque manière que le point $x$, $y$, $z$ tende vers le point double $(a, b, c)$, la valeur de l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \]

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reste finie. On voit, d'ailleurs, bien aisément que la valeur de cette intégrale est indépendante de la façon dont le point $(x, y, z)$ se rapproche du point double. Soit, en effet, après un choix d'axes convenable, et l'origine étant au point double, \[ f(x, y, z) = Mx^{2} + Ny^{2} + Pz^{2} + U(x, y, z), \] les termes suivant les trois premiers étant de degré supérieur à deux, et l'on a \[ MNP \neq 0; \] posons \[ \begin{aligned} A &= ax + by + cz + \ldots, \\ B &= a'x + b'y + c'z + \ldots, \\ C &= a''x + b''y + c''z + \ldots; \end{aligned} \] l'identité \[ A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z) \] donne de suite cette autre identité \[ \begin{aligned} &2(ax + by + cz)Mx + 2(a'x + b'y + c'z)Ny + 2(a''x + b''y + c''z)Pz \\ &\qquad = (a + b' + c'')(Mx^{2} + Ny^{2} + Pz^{2}); \end{aligned} \] on en conclut immédiatement \[ \begin{aligned} &a = b' = c'' = 0, \\ &Mc + Pa'' = 0, \quad Mb + Na' = 0, \quad Nc' + Pb'' = 0. \end{aligned} \]

Il viendra donc \[ B\,dx - A\,dy = z(c'\,dx - c\,dy) + a'x\,dx - By\,dy + \varphi\,dx + \psi\,dy, \] $\varphi$ et $\psi$ étant au moins du second degré en $x$, $y$ et $z$; l'élément de l'intégrale sera alors \[ \frac{z(c'\,dx - c\,dy) + a'x\,dx - by\,dy + \varphi\,dx + \psi\,dy}{2Pz + U'_{z}(x, y, z)}; \]

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or, d'après une des égalités précédentes $a' = \lambda M$, $b = -\lambda N$ : nous pourrons donc mettre cette expression sous la forme \[ \frac{z(c'\,dx - c\,dy - \lambda P\,dz) + \varphi_{1}\,dx + \psi_{1}\,dy + \chi_{1}\,dz}{2Pz + U'_{z}(x, y, z)}, \] $\varphi_{1}$, $\psi_{1}$ et $\chi_{1}$ étant au moins du second degré en $x$, $y$, $z$. Supposons maintenant que $x$ et $y$ tendent vers zéro, la limite de $\dfrac{y}{x}$ étant finie et n'annulant pas $M + N\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$; dans cette hypothèse, $\dfrac{x}{z}$ et $\dfrac{y}{z}$ auront des limites finies, et le dernier élément de l'intégrale se réduira à \[ \frac{c'\,dx - c\,dy - \lambda P\,dz}{2P}. \] Il est donc indépendant de la limite de $\dfrac{y}{x}$. En employant l'une ou l'autre forme de l'intégrale, on traiterait d'une manière toute semblable les cas exclus dans le raisonnement précédent.

6. Étudions maintenant la valeur de l'intégrale quand $(x, y, z)$ se rapproche d'un point de la courbe double de la surface.

Nous allons joindre aux hypothèses précédemment faites la suivante. Les surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] passent par la courbe double de la surface. Je dis que, dans ces conditions, l'intégrale reste finie pour tout point de la courbe double.

Soient $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ les coordonnées d'un point $P$ de la courbe double; par ce point passent deux nappes de la surface ayant, par hypothèse, deux plans tangents différents. Supposons que $(x, y, z)$ tende vers $P$ en restant sur une certaine nappe; le plan tangent à cette nappe en $P$ n'est pas parallèle aux trois axes de coordonnées; supposons, pour fixer les idées, qu'il ne soit pas parallèle à l'axe des $z$.

Pour l'une des nappes, on aura, dans le voisinage de $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, \[ z - z_{1} = a(x - x_{1}) + b(y - y_{1}) + \varphi(x - x_{1}, y - y_{1}). \tag{1} \] $\varphi$ ne renfermant que des termes de degré supérieur au premier.

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Pour l'autre nappe, on aura pareillement \[ z - z_{1} = a'(x - x_{1}) + b'(y - y_{1}) + \psi(x - x_{1}, y - y_{1}). \tag{2} \] et l'on n'a pas à la fois \[ a = a', \quad b = b'. \]

L'équation de la surface pourra évidemment se mettre sous la forme \[ \begin{aligned} &f(x, y, z) = F \times [z - z_{1} - a(x - x_{1}) - b(y - y_{1}) - \varphi] \\ &\qquad \times [z - z_{1} - a'(x - x_{1}) - b'(y - y_{1}) - \psi]. \end{aligned} \] $F$ dépendant de $x$, $y$, $z$ et ayant une valeur finie et différente de zéro pour $x = x_{1}$, $y = y_{1}$, $z = z_{1}$.

On en conclut que, pour tout point $xyz$ de la nappe (1), on aura \[ \begin{aligned} &f'_{z}(x, y, z) = F \times [(a - a')(x - x_{1}) + (b - b')(y - y_{1}) \\ &\qquad + \varphi(x - x_{1}, y - y_{1}) - \psi(x - x_{1}, y - y_{1})]. \end{aligned} \]

L'équation de la projection de la courbe double sur le plan des $xy$ est obtenue en éliminant $z$ entre les équations (1) et (2), ce qui donne immédiatement \[ (a - a')(x - x_{1}) + (b - b')(y - y_{1}) + \varphi - \psi = 0. \tag{3} \] On n'a pas à la fois $a - a' = 0$, $b - b' = 0$, soit, par exemple, $b - b' \neq 0$.

Nous pourrons tirer de l'équation (3) \[ y - y_{1} = P(x - x_{1}). \] $P$ étant une série, sans terme constant, procédant suivant les puissances de $x - x_{1}$.

Ceci posé, soit \[ A(x, y, z) = 0 \] l'équation d'une surface passant par la courbe double, $z$ étant remplacé

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par le développement (1), on aura, pour les points de la nappe (1) dans le voisinage de $P$, \[ A(x, y, z) = \chi(x - x_{1}, y - y_{1}), \] et cette fonction sera identiquement nulle, quand on remplacera $y - y_{1}$ par $P(x - x_{1})$.

On aura donc \[ A(x, y, z) = [y - y_{1} - P(x - x_{1})]\chi_{1}(x - x_{1}, y - y_{1}), \] $\chi_{1}$ étant, comme $\chi$, une série procédant suivant les puissances de $x - x_{1}$ et $y - y_{1}$; on remarquera, d'autre part, d'après ce qui a été dit plus haut, que \[ f'_{z}(x, y, z) = F_{1} \times [y - y_{1} - P(x - x_{1})], \] $F_{1}$ dépendant de $x$, $y$, $z$ et étant finie et différente de zéro pour $x = x_{1}$, $y = y_{1}$, $z = z_{1}$.

Si nous considérons maintenant le quotient \[ \frac{A(x, y, z)}{f'_{z}(x, y, z)}, \] on voit, d'après ce qui précède, qu'il tendra vers une valeur finie déterminée quand $(x, y, z)$ se rapprochera de $P$, en restant sur l'une ou l'autre nappe de la surface.

Il est facile maintenant de trouver ce que devient l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \] quand $(x, y, z)$ tend vers $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$. Les deux expressions \[ \frac{B}{f'_{z}} \quad \text{et} \quad \frac{A}{f'_{z}} \] étant déterminées et continues dans le voisinage de ce point, l'intégrale aura nécessairement une valeur finie et déterminée.

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7. Il reste à étudier l'intégrale quand les variables deviennent infinies. Nous allons, dans ce but, transformer l'intégrale en nous servant des coordonnées homogènes. Remplaçons donc $x$, $y$, $z$ par $\dfrac{x}{t}$, $\dfrac{y}{t}$, $\dfrac{z}{t}$, et rappelons-nous que nous avons trouvé (nº 3) \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z). \end{aligned} \] $\varphi$ est homogène et de degré $(m - 3)$ en $x$, $y$ et $z$; $A_{1}$ et $B_{1}$ sont des polynômes de degré $m - 3$ en $x$, $y$ et $z$.

Nous aurons donc, en rendant les polynômes homogènes, \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} = \frac{[y\varphi(x, y, z) + tB_{1}(x, y, z, t)](t\,dx - x\,dt) - [x\varphi(x, y, z) + tA_{1}(x, y, z, t)](t\,dy - y\,dt)}{tf'_{z}(x, y, z, t)}, \] qui pourra s'écrire \[ \frac{-(x\,dy - y\,dx)(x\varphi + tA_{1}) + (A_{1}y - B_{1}x)(x\,dt - t\,dx)}{xf'_{z}(x, y, z, t)}. \] $x$, $y$, $z$, $t$ ne sont pas nulles à la fois; soit $x \neq 0$, et posons alors \[ \frac{y}{x} = Y, \quad \frac{z}{x} = Z, \quad \frac{t}{x} = T; \] l'expression différentielle deviendra \[ \frac{-[\varphi(1, Y, Z) + TA_{1}(1, Y, Z, T)]\,dY + [YA_{1}(1, Y, Z, T) - B_{1}(1, Y, Z, T)]\,dT}{f'_{Z}(1, Y, Z, T)} \] et nous sommes ramenés à étudier la valeur d'une intégrale de même forme que celle qui a été étudiée dans les numéros précédents et pour des valeurs finies des variables.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

L'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} \]

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reste finie pour toute valeur, finie ou infinie, de $x$ et $y$; elle est indéterminée quoique finie, pour les valeurs infinies données aux variables.

8. Nous savons donc reconnaitre, étant donnée une surface \[ f(x, y, z) = 0, \] si elle possède ou non des intégrales de différentielles totales de première espèce, en désignant ainsi les intégrales qui restent toujours finies.

Il n'en est pas ici comme dans le cas des courbes algébriques; la surface la plus générale de degré $m$ ne possède pas d'intégrales de première espèce. En d'autres termes, étant considérée la surface la plus générale d'ordre $m$ \[ f(x, y, z) = 0, \] on ne peut pas trouver de polynômes $A$, $B$, $C$ de la forme \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z), \\ C &= z\varphi(x, y, z) + C_{1}(x, y, z), \end{aligned} \] où $\varphi$ est un polynôme d'ordre $m - 3$ et homogène en $x$, $y$, $z$, et $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ sont des polynômes de degré au plus égal à $m - 3$ par rapport à ces variables, qui satisfassent à l'identité \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z). \]

C'est ce que nous allons montrer dans un instant, mais écrivons auparavant l'identité précédente sous une autre forme. Il ne paraît pas facile d'énoncer, sous forme géométrique, les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'on puisse satisfaire à cette identité fondamentale. Transformons-la seulement pour lui donner une forme plus symétrique.

On peut l'écrire \[ m A f'_{x} + m B f'_{y} + m C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) (x f'_{x} + y f'_{y} + z f'_{z} + f'_{t}). \]

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Posons maintenant \[ \begin{aligned} \theta_{1} &= m A - x \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{2} &= m B - y \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{3} &= m C - z \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{4} &= - \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \end{aligned} \] les $\theta$ étant ainsi des polynômes d'ordre $m - 3$, comme on le reconnait, en se reportant aux formes de $A$, $B$, $C$.

L'identité pourra s'écrire \[ \theta_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + \theta_{2} \frac{\partial f}{\partial y} + \theta_{3} \frac{\partial f}{\partial z} + \theta_{4} \frac{\partial f}{\partial t} = 0. \tag{1} \]

Considérons les $\theta$ comme des polynômes homogènes d'ordre $m - 3$ en $x$, $y$, $z$, $t$. On aura entre ces polynômes la relation suivante qui résulte immédiatement de leur expression en $A$, $B$, $C$ : \[ \frac{\partial \theta_{1}}{\partial x} + \frac{\partial \theta_{2}}{\partial y} + \frac{\partial \theta_{3}}{\partial z} + \frac{\partial \theta_{4}}{\partial t} = 0. \]

Nous avons dit que la surface la plus générale de degré $m$ ne possédait pas d'intégrale de première espèce. Je dis, en effet, que, $f(x, y, z)$ étant le polynôme général d'ordre $m$, on ne peut pas trouver quatre polynômes $\theta_{1}$, $\theta_{2}$, $\theta_{3}$, $\theta_{4}$ de degré $(m - 3)$ vérifiant l'identité (1). Considérons, en effet, les trois surfaces \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0; \] elles n'ont pas de courbe commune, et elles ont en commun un nombre de points distincts égal à $(m - 1)^{3}$. Pour ces points, on a \[ \theta_{4} \frac{\partial f}{\partial t} = 0; \]

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mais le second facteur ne sera certainement pas nul, puisqu'alors la surface aurait des points doubles; les points considérés appartiennent donc à la surface de degré $m - 3$ \[ \theta_{4} = 0; \] par suite, les quatre surfaces \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0, \quad \theta_{4} = 0 \] ont en commun $(m - 1)^{3}$ points distincts. Or cela est impossible, car, si nous considérons les deux surfaces de degré $m - 1$ \[ \begin{aligned} \alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial f}{\partial y} + \gamma \frac{\partial f}{\partial z} &= 0, \\ \alpha' \frac{\partial f}{\partial x} + \beta' \frac{\partial f}{\partial y} + \gamma' \frac{\partial f}{\partial z} &= 0, \end{aligned} \] les $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ étant des constantes arbitraires, l'intersection de ces deux surfaces devrait rencontrer la surface $\theta_{4}$ en $(m - 1)^{3}$ points. Il est, d'ailleurs, impossible que les deux surfaces précédentes aient une ligne commune avec la surface $\theta_{4}$, si les $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sont pris arbitrairement.

CHAPITRE II.

1. Nous avons admis, dans les numéros précédents, que la surface n'avait que des points doubles isolés et des courbes doubles. On peut supposer, sans plus de complications, qu'elle a des points multiples et des courbes multiples d'ordre quelconque, pourvu que ces singularités soient des singularités ordinaires; nous entendrons par là qu'en un point multiple isolé d'ordre $k$ le cône d'ordre $k$ formé par les tangentes n'a pas de droites multiples; de même, en tout point d'une courbe multiple d'ordre $k$, les $k$ plans tangents aux $k$ nappes de la surface passant par la courbe multiple sont distincts.

Cherchons alors comment devront être modifiés les énoncés précédemment donnés pour que la surface possède des intégrales de première espèce. Soient $A$, $B$, $C$ trois polynômes des degrés indiqués, satisfaisant

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à l'identité fondamentale \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z). \]

Les surfaces $A = 0$, $B = 0$, $C = 0$ passeront par les courbes multiples, et une courbe multiple d'ordre $k$ de la surface proposée sera, pour chacune de ces surfaces, une courbe multiple d'ordre $(k - 1)$. Ces conditions sont, d'ailleurs, nécessaires et suffisantes, pour que l'intégrale \[ \int^{(x, y, z)} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] reste finie, en tout point d'une courbe multiple.

L'étude de la valeur de l'intégrale, quand $(x, y, z)$ tend vers un point multiple isolé, est un peu moins simple. Supposons que ce point multiple soit à l'origine des coordonnées. Soit ce point d'ordre $p$, et écrivons \[ f(x, y, z) = \varphi(x, y, z) + \ldots, \] $\varphi(x, y, z)$ étant homogène et de degré $p$, et les autres termes étant de degré supérieur à $p$ en $x$, $y$ et $z$. Soient de même $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les termes homogènes et de degré moindre en $x$, $y$, $z$ dans $A$, $B$ et $C$; on aura l'identité \[ \alpha \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \beta \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \gamma \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \varphi(x, y, z); \] arrêtons-nous un instant sur cette relation. En la joignant à \[ x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + z \frac{\partial \varphi}{\partial z} = p\varphi. \] nous aurons l'identité \[ \begin{aligned} &0 = \left[ p\alpha - x \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\ &\qquad + \left[ p\beta - y \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ &\qquad + \left[ p\gamma - z \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial z}. \end{aligned} \]

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Nous ne connaissons pas a priori le degré de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; si ce degré est au plus égal à $p - 2$, nous allons immédiatement trouver la forme de ces polynômes; nous avons, en effet, dans ce cas, une relation de la forme \[ P \frac{\partial \varphi}{\partial x} + Q \frac{\partial \varphi}{\partial y} + R \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0, \tag{1} \] où $P$, $Q$, $R$ sont des polynômes homogènes dont le degré est au plus égal à $p - 2$. Les points communs à $\dfrac{\partial \varphi}{\partial y} = 0$ et à $\dfrac{\partial \varphi}{\partial z} = 0$ doivent appartenir à la courbe $P = 0$, puisqu'on ne peut avoir en même temps $\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} = 0$, le cône n'ayant pas de génératrice multiple. Or les points communs aux deux courbes de degré $p - 1$ \[ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0 \] ne peuvent appartenir à la courbe de degré $p - 2$ \[ P = 0, \] et nous concluons de là que $P$, $Q$ et $R$ doivent être identiquement nuls. On a, par suite, \[ \frac{\alpha}{x} = \frac{\beta}{y} = \frac{\gamma}{z}. \] Soit $T$ la valeur commune de ces rapports; on aura \[ pT = \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right), \] ce qui montre d'abord que $T$ sera un polynôme homogène en $x$, $y$, $z$. De plus, soit $q$ son degré; l'égalité précédente nous donnera \[ pT = qT + 3T, \] d'où \[ q = p - 3. \] Ainsi, si le degré de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ n'atteint pas $p - 1$, on aura nécessairement \[ \alpha = xT, \quad \beta = yT, \quad \gamma = zT, \]

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$T$ étant un polynôme de degré $p - 3$. Nous sommes donc assuré que les surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] ont un point multiple d'ordre au moins égal à $(p - 2)$, en un point multiple isolé d'ordre $p$ de la surface proposée. Dans le cas où l'ordre de multiplicité est $(p - 2)$, les termes de degré $(p - 2)$ dans $A$, $B$, $C$ ont les formes spéciales qui viennent d'être indiquées.

2. Il est facile de voir maintenant que, dans ces conditions, l'intégrale \[ \int^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] reste finie au point multiple considéré; nous supposons, comme plus haut, que ce point multiple est l'origine.

Si l'origine est un point multiple d'ordre $p - 1$ pour les surfaces \[ B = 0, \quad A = 0, \] il n'y a aucune modification à faire au raisonnement qui a été fait pour le cas du point double (nº 5).

Si l'origine est seulement un point multiple d'ordre $p - 2$, nous pouvons poser, d'après ce qui vient d'être dit au numéro précédent, \[ A = xT + A_{1}, \quad B = yT + B_{1}, \] $A_{1}$ et $B_{1}$ ne renfermant que des termes de degré supérieur à $p - 2$; on a alors la somme des deux intégrales \[ \int \frac{T(y\,dx - x\,dy)}{f'_{z}} + \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] Nous venons de dire que la seconde restait finie; quant à la première, elle est comparable à l'intégrale abélienne ordinaire \[ \int \frac{T\left(1, \frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right)}{\varphi'_{z}\left(1, \frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)} \]

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attachée à la courbe $\varphi(x, y, z) = 0$; et cette intégrale reste finie, puisque $T$ est un polynôme de degré $p - 3$.

Il résulte évidemment du calcul précédent qu'en un point multiple isolé d'ordre $p$ ($p$ étant supérieur à deux), l'intégrale de différentielle totale de première espece peut avoir, tout en restant finie, une valeur indéterminée.

Il n'en était pas de même en un point double non planaire; nous avons vu (nº 5, Iʳᵉ Partie) que, dans ce cas, l'intégrale avait toujours une valeur déterminée.

3. Nous ferons maintenant quelques remarques relatives au cas où la surface \[ f(x, y, z) = 0 \] possede deux ou plus d'intégrales de première espèce. Considérons donc deux de ces intégrales.

$A$, $B$, $C$ et $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ étant les polynômes correspondants, nous aurons les deux identités \[ \begin{aligned} A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} &= \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z), \\ A_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + B_{1} \frac{\partial f}{\partial y} + C_{1} \frac{\partial f}{\partial z} &= \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z} \right) f(x, y, z). \end{aligned} \]

Supposons que les deux intégrales \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \quad \text{et} \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] ne sont pas fonctions l'une de l'autre, c'est-à-dire que l'on n'a pas pour tous les points de la surface \[ BA_{1} - AB_{1} = 0, \]

Ceci entendu, nous avons pour tout point de la surface \[ \begin{aligned} A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} &= 0, \\ A_{1} f'_{x} + B_{1} f'_{y} + C_{1} f'_{z} &= 0. \end{aligned} \]

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ou \[ \frac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{f'_{x}} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{f'_{y}}. \tag{1} \]

Le quotient $\dfrac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}}$ reste fini pour tout point $(x, y, z)$ de la surface, situé à distance finie. D'après les égalités précédentes, ceci est évident pour les points simples de la surface, il en est aussi de même pour les points des lignes multiples, car toute ligne multiple d'ordre $p$ de la surface proposée est ligne multiple d'ordre $2p - 2$ des surfaces \[ AB_{1} - A_{1}B = 0, \quad BC_{1} - CB_{1} = 0, \quad CA_{1} - AC_{1} = 0. \]

Faisons enfin coïncider $(x, y, z)$ avec un point $P$ multiple isolé d'ordre $p$. Si les surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \quad \text{et} \quad A_{1} = 0, \quad B_{1} = 0, \quad C_{1} = 0 \] ont le point $P$ pour point multiple d'ordre $p - 2$, on voit, d'après les formes des polynômes $A$, $B$, $C$ (numéro précédent), que les surfaces \[ AB_{1} - A_{1}B = 0, \quad BC_{1} - CB_{1} = 0, \quad CA_{1} - AC_{1} = 0 \] ont le point $P$ pour point multiple d'ordre $(2p - 3)$, et dans tous les autres cas le degré de multiplicité atteindra au moins cette valeur; on voit alors, d'après les égalités (1), que chacune des expressions (1) s'annule au point $P$.

De ce que chacun des rapports (1) reste fini pour tout point $(x, y, z)$ de la surface, situé à distance finie, on conclut que \[ \begin{aligned} AB_{1} - A_{1}B &= f'_{z} Q(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= f'_{x} Q(x, y, z), \\ CA_{1} - AC_{1} &= f'_{y} Q(x, y, z), \end{aligned} \tag{2} \] $Q(x, y, z)$ étant un polynôme en $x$, $y$, $z$. Le degré de ce polynôme sera d'ailleurs $(m - 4)$ ($m$ étant le degré de la surface $f$); on voit en effet, en se reportant aux formes de $A$, $B$, $C$, que les polynômes figurant

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dans les premiers membres des relations précédentes sont de degré $2m - 5$.

On pourrait arriver aux relations (2) par une autre voie. La surface \[ AB_{1} - A_{1}B = 0 \] passera par l'intersection des deux surfaces \[ f(x, y, z) = 0, \quad f'_{z}(x, y, z) = 0; \] or, si une surface \[ F(x, y, z) = 0 \] passe par l'intersection de deux surfaces \[ \varphi(x, y, z) = 0, \quad \psi(x, y, z) = 0, \] et que toute courbe d'intersection de ces deux dernières surfaces, qui est pour la première une ligne multiple d'ordre $i$ et pour la seconde d'ordre $k$, soit une ligne multiple d'ordre $i + k - 1$ pour la surface $F$, on aura l'identité \[ F = Q\varphi + R\psi, \] $Q$ et $R$ étant des polynômes. Cette importante proposition est due à M. Nöther (Math. Annalen, t. VI). En l'appliquant à l'exemple actuel, on est conduit à l'identité \[ AB_{1} - A_{1}B = Qf'_{z} + Rf, \] et l'on a, par suite, les relations (2) pour les points de la surface $f$.

La surface d'ordre $(m - 4)$ \[ Q(x, y, z) = 0 \] est extrêmement intéressante, car c'est une surface adjointe à la surface proposée; cette surface, d'après la définition du polynôme $Q$, aura en effet pour courbe multiple d'ordre $p - 1$ une courbe multiple d'ordre $p$ de la surface $f$, et elle aura pour point multiple d'ordre au moins égal à $(p - 2)$ tout point multiple isolé d'ordre $p$ de cette même surface.

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Le polynôme adjoint $Q$ est donc tel que l'intégrale double \[ \int^{x} \int^{y} \frac{Q(x, y, z)\,dx\,dy}{f'_{z}} \] reste finie pour toute valeur de $x$ et $y$.

Dans le cas où la surface a un point double isolé $(p = 2)$, la surface précédente $Q$ passe par ce point double; car les surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \quad \text{et} \quad A_{1} = 0, \quad B_{1} = 0, \quad C_{1} = 0 \] passent par ce point double. La surface adjointe d'ordre $(m - 4)$ \[ Q(x, y, z) = 0 \] présente donc, dans ce cas, une particularité qui n'appartient pas en général aux surfaces adjointes, car celles ci ne sont pas assujetties à passer par les points doubles isolés.

4. Nous allons considérer maintenant quelques exemples particuliers. Les surfaces du second degré étant unicursales, il n'y aura évidemment parmi elles aucune surface qui possède des intégrales de première espèce. La même remarque s'applique aux surfaces du troisième degré qui sont toutes unicursales; il y a seulement une exception pour les cônes du troisième degré, qui ne sont pas des surfaces unicursales et qui possedent une intégrale de différentielle totale de première espèce; car soit \[ f(x, y, z) = 0 \] l'équation d'un cône du troisième degré ayant pour sommet l'origine, l'intégrale \[ \int \frac{x\,dy - y\,dx}{f'_{z}(x, y, z)} \] sera de première espèce.

Passons aux surfaces du quatrième degré. Une telle surface pourra posséder une intégrale de première espèce, mais nous allons immédiatement établir qu'elle ne pourra avoir deux intégrales qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre.

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En effet, nous aurions ici, d'après ce que nous avons vu (nº 3 de ce Chapitre), \[ \begin{aligned} AB_{1} - A_{1}B - Qf'_{z} &= 0, \\ BC_{1} - CB_{1} - Qf'_{x} &= 0, \\ CA_{1} - AC_{1} - Qf'_{y} &= 0. \end{aligned} \] $Q$, qui est en général d'ordre $(m - 4)$, sera ici une constante; ces relations ne sont, en général, satisfaites que pour les points de la surface $f$; mais, dans le cas actuel, ce seront des identités, puisque le premier membre de chacune d'elles est un polynôme de degré inférieur à quatre. D'ailleurs la constante $Q$ sera différente de zéro, puisque les deux intégrales ne sont pas fonctions l'une de l'autre. Nous avons donc l'identité \[ Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} = 0; \] par suite, on a cette autre identité \[ \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} = 0. \]

Reportons-nous maintenant aux conditions mises sous forme homogène, pour que la surface ait une intégrale de première espèce (nº 8, Iʳᵉ Partie); on a \[ \theta_{1}\frac{\partial f}{\partial x} + \theta_{2}\frac{\partial f}{\partial y} + \theta_{3}\frac{\partial f}{\partial z} + \theta_{4}\frac{\partial f}{\partial t} = 0, \] et $\theta_{4}$ a pour expression \[ \theta_{4} = -\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right): \] on aura par conséquent $\theta_{4} = 0$; mais $\theta_{4}$ est un quelconque des polynômes $\theta$, et nous arrivons ainsi à cette conclusion absurde que \[ \theta_{1} = \theta_{2} = \theta_{3} = \theta_{4} = 0. \]

L'hypothèse faite qu'il y avait deux intégrales de première espèce qui n'étaient pas fonctions l'une de l'autre était donc inadmissible.

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5. Le même théorème subsiste pour les surfaces du cinquième degré. Soit une surface qui aurait deux intégrales distinctes de première espèce; on aurait \[ \begin{aligned} Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} &= \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) f(x, y, z), \\ A_{1}f'_{x} + B_{1}f'_{y} + C_{1}f'_{z} &= \left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) f(x, y, z), \end{aligned} \tag{1} \] et les formes des $A$, $B$, $C$ seront ici \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + L(x, y, z), &\quad A_{1} &= x\varphi_{1}(x, y, z) + L_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + M(x, y, z), &\quad B_{1} &= y\varphi_{1}(x, y, z) + M_{1}(x, y, z), \\ C &= z\varphi(x, y, z) + N(x, y, z), &\quad C_{1} &= z\varphi_{1}(x, y, z) + N_{1}(x, y, z). \end{aligned} \] les $\varphi$ étant un polynôme homogène du second degré, et les $L$, $M$, $N$ des polynômes du même degré

D'après ce qui a été dit au nº 3, on aura nécessairement \[ \begin{aligned} AB_{1} - BA_{1} &= Qf'_{z} + \nu f(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= Qf'_{x} + \lambda f(x, y, z), \\ CA_{1} - AC_{1} &= Qf' + \mu f(x, y, z), \end{aligned} \tag{2} \] $Q$ étant ici un polynôme du premier degré, et $\lambda$, $\mu$, $\nu$ étant trois constantes. Des trois identités précédentes, on conclut, en tenant compte des équations (1), \[ \begin{aligned} Q\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) + \lambda A + \mu B + \nu C &= 0, \\ Q\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) + \lambda A_{1} + \mu B_{1} + \nu C_{1} &= 0. \end{aligned} \tag{3} \]

Les constantes $\lambda$, $\mu$, $\nu$ sont reliées très simplement au polynôme $Q$. Supposons, en effet, que les polynômes $\varphi$ et $\varphi_{1}$ ne soient pas identiquement nuls à la fois. Soit $\varphi = 0$. Dans la première des équations (4), les termes du degré le plus élevé seront, en posant \[ \begin{aligned} &Q = lx + my + nz + p, \\ &5(lx + my + nz)\varphi + (\lambda x + \mu y + \nu z); \end{aligned} \]

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on en conclut que \[ \lambda = -5\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \mu = -5\frac{\partial Q}{\partial y}, \quad \nu = -5\frac{\partial Q}{\partial z}. \]

La même conclusion subsiste si $\varphi$ et $\varphi_{1}$ sont identiquement nuls. Considérons en effet, dans ce cas, les relations (2); les premiers membres sont du quatrième degré; on aura donc, en désignant par $\psi(x, y, z)$ les termes homogènes du cinquième degré dans $f$, \[ \begin{aligned} (lx + my + nz)\psi'_{z} + \nu\psi &= 0, \\ (lx + my + nz)\psi'_{x} + \lambda\psi &= 0, \\ (lx + my + nz)\psi'_{y} + \mu\psi &= 0; \end{aligned} \] d'où l'on déduit \[ \frac{\psi'_{z}}{\nu} = \frac{\psi'_{x}}{\lambda} = \frac{\psi'_{y}}{\mu} = -\frac{\psi}{lx + my + nz}; \] donc \[ 5(lx + my + nz) = -(\lambda x + \mu y + \nu z), \] et la conclusion précédente subsiste.

Ceci posé, on peut, en faisant un changement d'axes, supposer que le polynôme du premier degré $Q$ se réduise à $z$; les équations se simplifieront. Écrivons les équations (2) \[ \begin{aligned} AB_{1} - BA_{1} &= zf'_{z} - 5f(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= zf'_{x}. \\ CA_{1} - AC_{1} &= zf'_{y}, \end{aligned} \tag{4} \] et les équations (3) deviennent \[ \begin{aligned} z\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) - 5C &= 0. \\ z\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) - 5C_{1} &= 0. \end{aligned} \]

Nous avons pour $A$, $B$, $C$ et $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ les expressions indiquées plus haut.

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En les introduisant, les deux dernières équations deviennent \[ \begin{aligned} z\left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y} + \frac{\partial N}{\partial z}\right) - 5N &= 0, \\ z\left(\frac{\partial L_{1}}{dx} + \frac{\partial M_{1}}{\partial y} + \frac{\partial N_{1}}{\partial z}\right) - 5N_{1} &= 0. \end{aligned} \]

Si donc nous posons \[ \begin{aligned} L &= a_{0}z^{2} + a_{1}z + a_{2}, \\ M &= b_{0}z^{2} + b_{1}z + b_{2}, \end{aligned} \] où les $a$ et $b$ sont des polynômes en $x$ et $y$, de degré marqué par l'indice, on aura \[ N = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x} + \frac{\partial b_{1}}{\partial y}\right)z^{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b_{2}}{\partial y}\right)z, \] et, de même, en posant \[ \begin{aligned} L_{1} &= a'_{0}z^{2} + a'_{1}z + a'_{2}, \\ M_{1} &= b'_{0}z^{2} + b'_{1}z + b'_{2}, \end{aligned} \] il viendra \[ N_{1} = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial a'_{1}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{1}}{\partial y}\right)z^{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a'_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{2}}{\partial y}\right)z; \] et soit en outre \[ \begin{aligned} \varphi(x, y, z) &= c_{0}z^{2} + c_{1}z + c_{2}, \\ \varphi_{1}(x, y, z) &= c'_{0}z^{2} + c'_{1}z + c'_{2}, \end{aligned} \] où les $c$ sont des polynômes homogènes en $x$, $y$, $z$ de degré marqué par l'indice.

Ceci posé, la première des équations (4) donne \[ \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{f}{z^{5}}\right) = \frac{AB_{1} - A_{1}B}{z^{6}}. \]

Nous allons tirer de cette dernière équation la valeur de $f$, à un terme près de la forme $Cz^{5}$, où $C$ sera une constante, car elle ne peut être une fonction de $x$ et $y$, $f$ devant être un polynôme du cinquième degré en $x$, $y$ et $z$.

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$f$ étant ainsi déterminé, on devra avoir, d'après les équations (4), \[ f'_{x} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{z}, \quad f'_{y} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{z}. \]

6. Ceci posé, la surface, étant nécessairement du genre un, devra nécessairement avoir une courbe double d'un degré au moins égal à deux, et l'on peut évidemment supposer que cette courbe double est la conique représentée par les équations \[ z = 0, \quad x^{2} + y^{2} + 1 = 0, \] car on se rappelle que toute ligne multiple appartient à la surface $Q = 0$.

D'ailleurs les surfaces \[ A = 0, \quad A_{1} = 0, \quad B = 0, \quad B_{1} = 0 \] doivent passer pour cette conique; donc les polynômes \[ c_{2}x + a_{2}, \quad c_{2}y + b_{2}, \quad c'_{2}x + a'_{2}, \quad c'_{2}y + b'_{2} \] doivent être divisibles par $x^{2} + y^{2} + 1$. Soit donc \[ \begin{aligned} c_{2}x + a_{2} &= (\alpha x + \beta)(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c_{2}y + b_{2} &= (\alpha y + \gamma)(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c'_{2}x + a'_{2} &= (\alpha'x + \beta')(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c'_{2}y + b'_{2} &= (\alpha'y + \gamma')(x^{2} + y^{2} + 1), \end{aligned} \tag{5} \] les $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ étant des constantes; on peut en tirer $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ et $a'_{2}$, $b'_{2}$, $c_{2}$.

Dans $f(x, y, z)$, le terme indépendant de $z$ sera \[ -\frac{1}{5}[(c_{2}x + a_{2})(c'_{2}y + b'_{2}) - (c_{2}y + b_{2})(c'_{2}x + a'_{2})] \] ou \[ -\frac{1}{5}(x^{2} + y^{2} + 1)^{2}[x(\alpha\gamma' - \alpha'\gamma) + y(\beta\alpha' - \beta'\alpha) + \beta\gamma' - \beta'\gamma]. \tag{6} \]

Cherchons, d'autre part, le terme indépendant de $z$ dans $\dfrac{BC_{1} - CB_{1}}{z}$;

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ce sera \[ (c_{2}y + b_{2})\left[c'_{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a'_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{2}}{\partial y}\right)\right] - (c'_{2}y + b'_{2})\left[c_{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b_{2}}{\partial y}\right)\right], \] ou, en remplaçant les $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ par leur valeur tirée des identités (5), \[ \begin{aligned} &(x^{2} + y^{2} + 1)[x^{2}(\alpha'\gamma - \alpha\gamma') + \frac{1}{2}y^{2}(\alpha'\gamma - \alpha\gamma') \\ &\qquad + \frac{1}{2}(\alpha\beta' - \alpha'\beta)xy + \frac{1}{2}(\beta'\gamma - \gamma'\beta)x + \frac{1}{2}(\gamma\alpha' - \gamma'\alpha)]. \end{aligned} \tag{7} \]

L'expression (7) doit être la dérivée par rapport à $x$ de l'expression (6); or cela n'est possible que si \[ \alpha'\gamma - \alpha\gamma' = \alpha\beta' - \alpha'\beta = \beta'\gamma - \gamma'\beta = 0; \] dans ces conditions, l'expression (6) est nulle, et il en résulte que $f(x, y, z)$ serait divisible par $z$; la surface se décomposerait, ce qui montre l'impossibilité de l'existence de deux intégrales distinctes de première espèce pour une surface du cinquième degré.

TROISIÈME PARTIE.

Nous allons nous occuper, dans ce Chapitre, d'une classe particulière de surfaces; supposons que les coordonnées d'un point quelconque $x$, $y$, $z$ de la surface \[ f(x, y, z) = 0 \tag{1} \] s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres $u$ et $v$ \[ x = F(u, v), \quad y = F_{1}(u, v), \quad z = F_{2}(u, v), \] ces fonctions ayant quatre paires de périodes simultanées. Supposons de plus qu'à un point quelconque $(x, y, z)$ de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs de $u$ et $v$, abstraction faite de multiples des périodes; dans ce cas, la surface (1) possédera deux intégrales de première espèce et deux seulement. On le démontre immédiatement de la manière suivante :

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Nous avons \[ \begin{aligned} dx &= \frac{\partial F}{\partial u}\,du + \frac{\partial F}{\partial v}\,dv, \\ dy &= \frac{\partial F_{1}}{\partial u}\,du + \frac{\partial F_{1}}{\partial v}\,dv. \end{aligned} \]

Or les coefficients de $du$ et $dv$ sont des fonctions quadruplement périodiques de $u$ et $v$; elles peuvent donc s'exprimer rationnellement en $x$, $y$, $z$, dans l'hypothèse faite qu'à un point quelconque $(x, y, z)$ ne correspond qu'un seul système de valeurs $(u, v)$; en résolvant les deux équations précédentes par rapport à $du$ et $dv$, nous aurons donc \[ \begin{aligned} du &= P\,dx + Q\,dy, \\ dv &= P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy, \end{aligned} \] les $P$ et $Q$ étant des fonctions rationnelles de $(x, y, z)$. Les deux intégrales \[ \int P\,dx + Q\,dy \quad \text{et} \quad \int P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy \] sont évidemment des intégrales de différentielles totales algébriques, et elles sont de première espèce, puisqu'à tout point $(x, y, z)$ doivent nécessairement correspondre des valeurs finies de $u$ et $v$. Ces deux intégrales sont distinctes et linéairement indépendantes.

En second lieu, il n'existe pas d'intégrale de première espèce, linéairement indépendante des deux précédentes. Soit, en effet, comme plus haut, \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] une troisième intégrale de première espèce; considérons les expressions \[ \varphi = \frac{B \frac{\partial x}{\partial u} - A \frac{\partial y}{\partial u}}{f'_{z}} \quad \text{et} \quad \psi = \frac{B \frac{\partial x}{\partial v} - A \frac{\partial y}{\partial v}}{f'_{z}}; \] ces expressions devront rester finies pour toute valeur de $u$ et $v$, sinon l'intégrale précédente, qui peut s'écrire $\displaystyle\int \varphi\,du + \psi\,dv$, ne resterait pas toujours finie. Les fonctions quadruplement périodiques $\varphi$ et $\psi$, restant

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toujours finies, se réduisent, par conséquent, à des constantes. On peut donc écrire \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} = \alpha\,du + \beta\,dv, \] $\alpha$ et $\beta$ étant deux constantes, ce qui démontre le théorème.

2. Parmi les surfaces du quatrième degré, il en est une bien remarquable, dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux paramètres : c'est la surface de Kummer; mais le théorème précédent ne peut pas lui être appliqué, car, si nous appelons $u$ et $v$ les deux paramètres, à un point quelconque de la surface correspondent deux systèmes distincts de valeurs $(u, v)$. Pour vérifier cette assertion, appuyons-nous sur un élégant théorème, démontré par M. Darboux (Comptes rendus, 27 juin 1881). M. Darboux établit que l'on peut toujours faire correspondre point par point une surface de Kummer à une surface ayant une équation de la forme \[ z^{2} = f(x, y), \tag{1} \] $f$ étant un polynôme du sixième degré en $x$, $y$, et la courbe \[ f(x, y) = 0 \tag{2} \] se composant de six droites tangentes à une même conique.

On peut toujours, par une transformation préalable, faire en sorte que cette conique ait pour équation \[ x^{2} - y = 0. \tag{K} \] Posons maintenant \[ \begin{aligned} x &= \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \\ y &= x_{1}x_{2}. \end{aligned} \]

Pour une valeur fixe arbitraire donnée à $x_{1}$, ces deux équations définissent une droite tangente à la conique $(K)$. Supposons que les six

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droites données par l'équation (2) correspondent à \[ x_{1} = a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}. \] Soient maintenant \[ \begin{aligned} y_{1}^{2} &= (x_{1} - a_{1})(x_{1} - a_{2})\ldots(x_{1} - a_{6}), \\ y_{2}^{2} &= (x_{2} - a_{1})(x_{2} - a_{2})\ldots(x_{2} - a_{6}); \end{aligned} \] le produit $y_{1}^{2}y_{2}^{2}$, qui est une fonction symétrique de $x_{1}$ et $x_{2}$, est un polynôme du sixième degré en $x$ et $y$; il s'annule pour \[ x_{1} = a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}; \] quel que soit $x_{2}$, il ne diffère donc du polynôme $f(x, y)$ que par un facteur constant que l'on peut bien supposer être l'unité.

Par suite, nous satisfaisons à l'équation (1) en posant \[ \begin{aligned} x &= \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \\ y &= x_{1}x_{2}, \\ z &= y_{1}y_{2}, \end{aligned} \] où \[ y_{1} = \sqrt{(x_{1} - a_{1})\ldots(x_{1} - a_{6})}, \quad y_{2} = \sqrt{(x_{2} - a_{1})\ldots(x_{2} - a_{6})}. \]

Si nous considérons maintenant les équations abéliennes \[ \begin{aligned} \int^{x_{1}} \frac{dx_{1}}{y_{1}} + \int^{x_{2}} \frac{dx_{2}}{y_{2}} &= u, \\ \int^{x_{1}} \frac{x_{1}\,dx_{1}}{y_{1}} + \int^{x_{2}} \frac{x_{2}\,dx_{2}}{y_{2}} &= v, \end{aligned} \] ces équations nous donnent pour $x_{1} + x_{2}$, $x_{1}x_{2}$ et $y_{1}y_{2}$ des fonctions abéliennes de $u$ et $v$. Les trois coordonnées $x$, $y$, $z$ s'expriment donc par des fonctions abéliennes de deux paramètres.

Suppose-t-on maintenant donné un point $(x, y, z)$ quelconque de la surface, on aura alors un système de valeurs $(x_{1}, x_{2})$ et le produit $y_{1}y_{2}$. On aura donc pour $y_{1}$ et $y_{2}$ deux systèmes de valeurs, soit \[ y_{1}, y_{2} \quad \text{et} \quad -y_{1}, -y_{2}; \]

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on voit qu'alors à un point $(x, y, z)$ de la surface correspondent deux systèmes de valeurs $(u, v)$.

3. Revenons maintenant aux surfaces dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux paramètres, et proposons-nous la question suivante : Étant donnée l'équation irréductible \[ f(x, y, z) = 0, \] peut-on exprimer $x$, $y$, $z$ par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres, avec cette condition qu'à un point quelconque de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs des deux paramètres?

Nous supposons, comme dans le premier Chapitre, que la surface n'a que des singularités ordinaires (nº 1, Chap. II); nous nous bornons même, pour abréger, au cas où la surface n'aurait que des points doubles et des courbes doubles; d'ailleurs, il est entendu qu'on a commencé par faire sur les variables la substitution homographique la plus générale.

Il devra tout d'abord exister deux intégrales de première espèce linéairement indépendantes et deux seulement : c'est un premier point qu'on aura à vérifier, en procédant comme il a été indiqué dans le premier Chapitre. Supposons donc que ces deux intégrales soient obtenues, et désignons-les par \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] Elles doivent, de plus, ne pas être fonction l'une de l'autre, c'est-à-dire que $BA_{1} - AB_{1}$ n'est pas identiquement nul.

Considérons maintenant les équations différentielles \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv; \end{aligned} \tag{1} \] ces équations devront donner pour $x$ et $y$ des fonctions uniformes de

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$u$ et $v$ : c'est ce que l'on voit aisément d'après ce qui a été dit plus haut, puisque, dans le cas où $x, y, z$ peuvent s'exprimer par des fonctions quadruplement périodiques de $u$ et $v$, on a (nº 1, Part. II) \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} = \alpha\,du + \beta\,dv \] et de même \[ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} = \alpha_{1}\,du + \beta_{1}\,dv, \] les $\alpha$ et $\beta$ étant des constantes. Si nous remplaçons donc $\alpha u + \beta v$ et $\alpha_{1} u + \beta_{1} v$ par $u$ et $v$, nous avons le système des équations (1).

Nous devons donc chercher si ce système d'équations aux différentielles totales admet pour intégrales des fonctions uniformes des deux variables indépendantes $u$ et $v$.

Arrêtons-nous d'abord un instant sur le genre de la surface proposée \[ f(x, y, z) = 0. \]

Si les coordonnées d'un quelconque de ses points s'expriment par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres et de la manière indiquée, le genre de cette surface devra être égal à l'unité. On le démontre de suite en remarquant que l'intégrale double \[ \int \int du\,dv \] est de la forme \[ \int \int \varphi(x, y, z)\,dx\,dy, \] $\varphi$ étant une fonction rationnelle de $x, y, z$. Il y a donc une intégrale de cette forme, qui reste finie pour toute valeur de $x$ et $y$; on sait, d'ailleurs, que $\varphi$ sera nécessairement de la forme \[ \varphi(x, y, z) = \frac{Q(x, y, z)}{f'_{z}}, \] $Q$ désignant un polynôme d'ordre $m - 4$. De plus, l'expression \[ \frac{Q(x, y, z)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}\right)}{f'_{z}}, \]

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étant une fonction quadruplement périodique qui reste finie pour toute valeur de $u$ et $v$, se réduit à une constante; désignons cette constante par $a$. Rappelons enfin que la surface \[ Q(x, y, z) = 0 \] passe par la courbe double de la surface.

4. Ces préliminaires posés, reprenons les deux équations \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] et tirons de ces équations les valeurs de $\dfrac{\partial x}{\partial u}$, $\dfrac{\partial x}{\partial v}$, $\dfrac{\partial y}{\partial u}$, $\dfrac{\partial y}{\partial v}$, afin de former $\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}$; on obtient de suite \[ \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{(f'_{z})^{2}}{BA_{1} - AB_{1}}. \]

Si nous rapprochons cette expression de la relation \[ \frac{Q(x, y, z)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}\right)}{f'_{z}} = a, \] nous avons \[ \frac{BA_{1} - AB_{1}}{f'_{z}} = -\frac{1}{a} Q(x, y, z), \tag{1} \] relation qui ne sera, d'ailleurs, une identité qu'en vertu de l'équation de la surface. Nous avons vu, d'autre part (nº 5, Chap. II), que \[ \frac{BA_{1} - AB_{1}}{f'_{z}} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{f'_{x}} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{f'_{y}} = R(x, y, z), \tag{2} \] $R(x, y, z)$ étant un polynôme d'ordre $(m - 4)$. Des relations (1) et (2),

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on conclut \[ R(x, y, z) = -\frac{1}{a} Q(x, y, z), \] et cette égalité a lieu pour toute valeur de $x, y$ et $z$.

Des trois valeurs que l'on peut donner à $R$, il résulte que la surface $R = 0$ passe par les points doubles isolés; en effet, nous avons vu (Chap. I, nº 5) que \[ \frac{B}{f'_{z}} \quad \text{et} \quad \frac{A}{f'_{z}} \] tendent vers une limite finie quand $(x, y, z)$ se rapproche d'un point double isolé $(a, b, c)$, du moins quand $\dfrac{y - b}{x - a}$ ne tend pas vers deux certaines valeurs particulières. On a, par conséquent, $R(a, b, c) = 0$, puisque $A_{1}$ et $B_{1}$ s'annulent pour les coordonnées du point double.

5. Nous avons maintenant à étudier les deux équations aux différentielles totales \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] et à chercher à quelles conditions elles donneront pour $x$ et $y$ des fonctions uniformes de $u$ et $v$. On peut écrire les deux équations précédentes sous la forme \[ \begin{aligned} dx &= \frac{-A_{1}\,du + A\,dv}{R(x, y, z)}, \\ dy &= \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R(x, y, z)}. \end{aligned} \]

En tout point de la surface, situé à distance finie, et pour lequel $R(x, y, z)$ est différent de zéro, chacun des multiplicateurs de $du$ et $dv$ a une valeur finie parfaitement déterminée.

Nous devons chercher les valeurs pour lesquelles les fonctions $x$ et $y$, définies par les deux équations aux différentielles totales précédentes, pourraient cesser d'être des fonctions uniformes de $u$ et $v$. On sait, d'après une proposition générale due à M. Bouquet (Bulletin des

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Sciences mathématiques, t. III), que $x$ et $y$ ne cesseront pas d'être des fonctions holomorphes de $u$ et $v$, tant que les coefficients de $du$ et $dv$ seront des fonctions holomorphes de $x$ et $y$.

Les points communs à la surface proposée et à la surface \[ R(x, y, z) = 0 \] joueront un rôle important dans la discussion qui va suivre, puisque, pour ces points, le dénominateur commun de $dx$ et $dy$ s'annulera. L'intersection de ces deux surfaces se composera d'abord des courbes doubles de la surface $f$, et il pourra y avoir, en outre, une ou plusieurs autres courbes d'intersection; désignons par $\Gamma$ ces courbes complémentaires.

Ne considérons, pour le moment, que les points de la surface situés à distance finie, et prenons d'abord les points simples en dehors des courbes $\Gamma$. Si, pour un pareil point $(x, y, z)$, on n'a pas $f'_{z} = 0$, il est clair que \[ \frac{A}{R}, \quad \frac{A_{1}}{R}, \quad \frac{B}{R}, \quad \frac{B_{1}}{R} \] seront des fonctions holomorphes de $x$ et $y$ dans le voisinage de ce point. Il n'en est plus ainsi si $f'_{z} = 0$, mais la difficulté n'est qu'apparente. Le point étant simple, $f'_{x}$ et $f'_{y}$ ne seront pas nuls simultanément; soit $f'_{x} \neq 0$.

Des équations \[ dx = \frac{-A_{1}\,du + A\,dv}{R(x, y, z)}, \quad dy = \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R(x, y, z)}, \] auxquelles j'associe \[ f'_{x}\,dx + f'_{y}\,dy + f'_{z}\,dz = 0, \] on tire \[ \begin{aligned} dy &= \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R}, \\ dz &= \frac{-C_{1}\,du + C\,dv}{R}, \end{aligned} \] les polynômes $C$ et $C_{1}$ étant ceux qui ont été considérés (Chap. Iᵉʳ. nº 2).

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$x$ étant ici fonction holomorphe de $y$ et $z$, puisque $f'_{x} \neq 0$, nous concluons des deux dernières équations que $y$ et $z$ sont fonctions holomorphes de $u$ et $v$, et, par suite, il en est de même de $x$, d'après l'équation \[ dx = -\frac{f'_{y}}{f'_{x}}\,dy - \frac{f'_{z}}{f'_{x}}\,dz. \]

Donc, tant que le point $(x, y, z)$, restant à distance finie, ne vient pas sur la surface \[ R(x, y, z) = 0, \] $x$ et $y$ ne cessent pas d'être des fonctions holomorphes de $u$ et $v$.

6. Nous n'aurons encore aucune difficulté quand $(x, y, z)$, restant toujours à distance finie, s'approche d'un point $A$ de la courbe double, qui n'appartient pas aux courbes complémentaires $\Gamma$. D'après cette hypothèse, la surface $R$ ne sera tangente en $A$ à aucune des deux nappes de la surface passant en ce point.

Si la nappe de la surface, sur laquelle le point $(x, y, z)$ s'approche de $A$, n'a pas son plan tangent en ce point parallèle à l'axe des $z$, ce qu'on peut toujours supposer d'après le numéro précédent, les coefficients de $du$ et $dv$ seront des fonctions holomorphes de $x$ et $y$, et, par suite, $x$ et $y$ seront des fonctions holomorphes de $u$ et $v$ dans le voisinage des valeurs correspondantes de ces variables.

7. Nous avons maintenant à considérer le cas où $(x, y, z)$ s'approcherait d'une courbe complémentaire $\Gamma$. Soit $M$ un point quelconque d'une telle courbe; d'après les équations \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] on voit que le rapport $\dfrac{du}{dv}$ est indépendant de $\dfrac{dy}{dx}$, quand $(x, y, z)$ s'approche de $M$, car on a, au point $M$, \[ AB_{1} - A_{1}B = 0. \]

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Donc les valeurs $u_{0}$ $v_{0}$ des intégrales $u$ et $v$ correspondant au point $M$ ne donnent pas pour les fonctions $x$ et $y$ un point ordinaire; ceci n'est pas douteux, puisque $x$ et $y$ ne pourront tendre vers $x_{0}$ et $y_{0}$, que si la limite du rapport $\dfrac{u - u_{0}}{v - v_{0}}$ a une valeur déterminée.

Si donc les équations précédentes sont satisfaites par des fonctions analytiques uniformes de $u$ et $v$, le point $(u_{0}, v_{0})$ sera pour ces fonctions un point d'indétermination. Mais, quand $M$ se déplacera sur la courbe $\Gamma$, le système de valeurs $(u_{0}, v_{0})$ ne peut pas varier d'une manière continue, car une fonction uniforme de deux variables indépendantes, qui présente pour tout système fini de valeurs des variables le caractère d'une fonction rationnelle, ne peut pas avoir une suite de points d'indétermination se suivant d'une manière continue. Par conséquent, $u$ et $v$ gardent une valeur constante quand $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ se déplace sur la courbe $\Gamma$. Nous avons alors, pour cette courbe, \[ B\,dx - A\,dy = 0, \quad B_{1}\,dx - A_{1}\,dy = 0, \] et, puisque \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = 0, \] en même temps que \[ \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz = 0, \] on en conclut \[ \frac{dx}{A} = \frac{dy}{B} = \frac{dz}{C} \] et pareillement \[ \frac{dx}{A_{1}} = \frac{dy}{B_{1}} = \frac{dz}{C_{1}} \]

La courbe $\Gamma$ étant une courbe d'intersection de la surface proposée et de la surface \[ R(x, y, z) = 0, \] on aura, d'après ce qui précède, en tous les points de cette courbe, \[ A \frac{\partial R}{\partial x} + B \frac{\partial R}{\partial y} + C \frac{\partial R}{\partial z} = 0, \] cette relation doit être vérifiée en tous les points des courbes complémentaires

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d'intersection. Ceci posé, considérons une de ces courbes $\Gamma$; soit $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ un point simple de cette courbe, qui soit en même temps un point simple de la surface, et soit $f'_{z}$ différent de zéro, ce qu'il est bien permis de supposer. Nous aurons \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0}; \end{aligned} \] faisons tendre $(x, y, z)$ vers $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. On peut écrire \[ \begin{aligned} &\frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \\ &\qquad = [\beta + P(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dx + [\alpha + Q(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dy, \\ &\frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \\ &\qquad = [\beta_{1} + P_{1}(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dx + [\alpha_{1} + Q_{1}(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dy, \end{aligned} \] les $P$ et $Q$ étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $x - x_{0}$ et $y - y_{0}$, qui ne renferment pas de terme constant, et, puisque \[ BA_{1} - AB_{1} = 0 \quad \text{pour} \quad x_{0}, y_{0}, z_{0}, \] on aura \[ \beta\alpha_{1} - \alpha\beta_{1} = 0. \]

Nous pourrons enfin écrire, après intégration, \[ \begin{aligned} \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots &= u - u_{0}, \\ \beta_{1}(x - x_{0}) + \alpha_{1}(y - y_{0}) + \ldots &= v - v_{0}. \end{aligned} \tag{I} \]

Le point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ étant un point simple de la courbe $\Gamma$, $A$, $B$, $C$ et $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ ne s'annulent pas simultanément en ce point; car, s'il en était ainsi, l'égalité \[ R(x, y, z) = \frac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}} \]

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montrerait que $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ est un point double de la surface $R$, et, par conséquent, un point double de $\Gamma$. On peut donc supposer que $\alpha$, $\beta$, $\alpha_{1}$ et $\beta_{1}$ ne sont pas nuls simultanément; soit $\beta \neq 0$.

Revenons aux équations (I); elles montrent que le rapport $\dfrac{v - v_{0}}{u - u_{0}}$ tend vers une limite indépendante du rapport $\dfrac{y - y_{0}}{x - x_{0}}$.

Posons \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= t\lambda(t), \\ v - v_{0} &= t\lambda_{1}(t), \end{aligned} \] $\lambda$ et $\lambda_{1}$ étant deux fonctions holomorphes de $t$, dans le voisinage de $t = 0$; elles sont, d'ailleurs, uniquement assujetties à satisfaire la relation \[ \beta_{1}\lambda(0) - \beta\lambda_{1}(0) = 0. \]

Substituons ces valeurs de $u$ et $v$ dans les équations (I). On aura \[ \begin{aligned} \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots &= t\lambda(t), \\ \beta_{1}(x - x_{0}) + \alpha_{1}(y - y_{0}) + \ldots &= t\lambda_{1}(t). \end{aligned} \tag{II} \]

Si l'on fait, dans ces équations, $t = 0$, on a deux équations qui seront satisfaites par un même développement de $x - x_{0}$ en série ordonnée suivant les puissances croissantes de $y - y_{0}$; c'est le développement qui donne la courbe $\Gamma$ ou plutôt sa projection sur le plan des $xy$; ceci résulte de ce que $u$ et $v$ gardent les valeurs constantes $u_{0}$ et $v_{0}$, quand $(x, y, z)$ se déplace sur la courbe $\Gamma$.

Cette remarque faite, revenons aux équations (II). Nous tirerons de la première $x - x_{0}$ en fonction de $t$ et de $y - y_{0}$, et nous substituerons cette valeur de $x - x_{0}$ dans la seconde équation. La relation ainsi obtenue devra être vérifiée pour $t = 0$, quel que soit $y$, d'après ce qui vient d'être dit; tous les termes contiendront donc $t$ en facteur. Ce facteur enlevé, il restera un terme du premier degré en $y - y_{0}$, et nous aurons ainsi le développement de $y - y_{0}$ suivant les puissances croissantes de $t$, développement qui ne contiendra pas de terme indépendant de $t$. Nous avons ainsi $x - x_{0}$ et $y - y_{0}$, représenté par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $t$. Il importe de s'assurer

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s'il y a bien, comme nous venons de le dire, un terme du premier degré en $y - y_{0}$. Nous allons établir que, si, comme il a été supposé, le point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ est un point simple de la courbe $\Gamma$, il reste toujours un terme du premier degré dans l'équation précédente. Pour le démontrer, substituons aux équations (II) les deux équations suivantes \[ \begin{aligned} &\beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots = t\lambda(t), \\ &m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2} + \ldots \\ &\qquad = t[\beta_{1}\lambda(t) - \beta\lambda_{1}(t)], \end{aligned} \] ce qui revient à supposer que $\beta_{1} = \alpha_{1} = 0$, c'est-à-dire que les surfaces \[ B_{1} = 0, \quad A_{1} = 0 \] passent en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. Or nous aurons sans peine les valeurs de $m$, $n$ et $p$. Le développement de l'intégrale \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] montre immédiatement que l'on a, à un facteur près fini et différent de zéro, \[ \begin{aligned} m &= \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}}, \\ n &= \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} = - \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right], \\ p &= - \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right]. \end{aligned} \]

On a, d'ailleurs, \[ \beta = B_{0}, \quad \alpha = - A_{0}. \] Si, dans l'équation finale, le terme du premier degré en $y - y_{0}$ disparaît, le trinôme \[ m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2}, \] qui a nécessairement une racine commune avec \[ \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}), \]

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aura cette racine pour racine double; par conséquent, on aura \[ m\alpha - n\beta = 0, \quad n\alpha - p\beta = 0. \] ce qui nous donne \[ \begin{aligned} A_{0} \left[ \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right] - B_{0} \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right] &= 0, \\ A_{0} \left[ \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right] - B_{0} \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right] &= 0, \end{aligned} \] que nous écrirons enfin \[ \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0}}{f'_{x_{0}}} = \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0}}{f'_{y_{0}}} = \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0}}{f'_{z}}; \] d'où l'on conclurait que la surface, représentée par l'équation \[ AB_{1} - BA_{1} = 0, \] c'est-à-dire la surface $R = 0$, est tangente en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ à la surface proposée.

8. Supposons maintenant que la surface $R$ soit tangente à la surface $f$ en un point simple $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de cette surface. La courbe $\Gamma$ aura en ce point un point double; or la courbe $\Gamma$ satisfait aux équations différentielles \[ \frac{dx}{A} = \frac{dy}{B} = \frac{dz}{C}, \] ainsi qu'aux suivantes : \[ \frac{dx}{A_{1}} = \frac{dy}{B_{1}} = \frac{dz}{C_{1}}. \]

Si donc les six quantités $A$, $B$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$ et $C_{1}$ ne s'annulent pas simultanément en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, on aura, par l'une ou l'autre de ces équations, un développement qui ne donnera qu'une seule branche de courbe passant en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. La conclusion est qu'on a en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ \[ A = B = C = A_{1} = B_{1} = C_{1} = 0. \]

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Ceci posé, les deux équations \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0} \end{aligned} \] deviendront \[ \begin{aligned} m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2} + \ldots &= u - u_{0}, \\ m_{1}(x - x_{0})^{2} + 2n_{1}(x - x_{0})(y - y_{0}) + p_{1}(y - y_{0})^{2} + \ldots &= v - v_{0}, \end{aligned} \] et l'on aura évidemment \[ \frac{m}{m_{1}} = \frac{n}{n_{1}} = \frac{p}{p_{1}}. \]

Nous pouvons faire une combinaison de ces équations, de manière que la seconde n'ait pas de terme du second degré en $x - x_{0}$ et $y - y_{0}$. Nous pouvons donc supposer, afin de ne pas multiplier les notations, que cette condition est précisément remplie dans les deux équations précédentes, c'est-à-dire que \[ m_{1} = n_{1} = p_{1} = 0. \] Écrivons donc \[ \begin{aligned} &m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y)^{2} + \ldots = u - u_{0}, \\ &\alpha(x - x_{0})^{3} + 3\beta(x - x_{0})^{2}(y - y) \\ &\qquad + 3\gamma(x - x_{0})(y - y_{0})^{2} + \delta(y - y_{0})^{3} + \ldots = v - v_{0}; \end{aligned} \] puisque, en faisant $u = u_{0}$, $v = v_{0}$, les deux équations en $x$ et $y$ qu'on obtient ainsi seront vérifiées pour les deux branches de la courbe $\Gamma$ qui passe en $x_{0}$, $y_{0}$, il est clair que les racines du polynôme \[ m + 2n\theta + p\theta^{2} \] seront racines du polynôme \[ \alpha + 3\beta\theta + 3\gamma\theta^{2} + \delta\theta^{3}. \]

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Fait-on maintenant, dans les équations précédentes, \[ u - u_{0} = t^{2}\lambda(t), \quad v - v_{0} = t^{3}\lambda_{1}(t), \] où $\lambda$ et $\lambda_{1}$ sont des fonctions holomorphes de $t$ dans le voisinage de $t = 0$, et d'ailleurs quelconques. A une valeur de $t$ et, par suite, de $u - u_{0}$ et $v - v_{0}$ correspondent, par les équations précédentes, quatre systèmes de valeurs de $x - x_{0}$ et $y - y_{0}$.

On voit qu'alors les équations \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0} \end{aligned} \] ne donnent pas, pour une suite continue de valeurs de $u$ et $v$ dans le voisinage de $u_{0}$ et $v_{0}$, un seul système de valeurs correspondantes de $x$ et $y$. Il est donc impossible que la surface \[ R(x, y, z) = 0 \] soit tangente à la surface \[ f(x, y, z) = 0 \] en un point simple $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de cette dernière.

9. Nous devons maintenant considérer le cas où $(x, y, z)$ tend vers un point double de la surface, par lequel passe une courbe $\Gamma$. Supposons d'abord qu'une courbe $\Gamma$ rencontre la courbe double en un point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$; il n'y aura, dans ce cas, aucune difficulté, car on pourra raisonner, comme au numéro précédent, en considérant simplement la nappe de la surface passant en $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ sur laquelle se trouve la courbe $\Gamma$.

Une autre circonstance reste à examiner; la surface \[ R(x, y, z) = 0 \] passe par les points doubles isolés de la surface. La courbe complémentaire

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$\Gamma$ aura donc un point double, en un point double isolé $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de la surface proposée que nous allons supposer être l'origine.

Nous avons vu qu'en un pareil point l'intégrale avait une valeur parfaitement déterminée (1ʳᵉ Partie, nº 5). De plus, quand la limite de $\dfrac{y}{x}$ est finie et n'annule pas $M + N\left( \dfrac{y}{x} \right)^{2}$ (voir le numéro cité), ce que l'on peut toujours supposer, les termes du premier ordre dans l'intégrale \[ \int_{0, 0, 0}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] se réduisent à \[ \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P}, \] et pareillement pour l'intégrale \[ \int_{0, 0, 0}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}, \] les termes du premier degré seront \[ \frac{c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz}{2P}. \] La surface \[ R(x, y, z) = 0 \] aura généralement à l'origine un point simple, et la courbe $\Gamma$ un point double dont les deux tangentes seront distinctes. Puisque les deux intégrales $u$ et $v$ gardent sur la courbe $\Gamma$ les valeurs constantes $u_{0}$ et $v_{0}$, les deux expressions \[ \begin{aligned} &c'x - cy - \lambda Pz, \\ &c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz \end{aligned} \] doivent s'annuler pour l'une et l'autre direction correspondant aux tangentes à la courbe $\Gamma$. Les plans, obtenus en égalant ces expressions à

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zéro, coïncident donc. Ceci posé, revenons aux équations, en faisant $u_{0} = v_{0} = 0$, \[ \begin{aligned} \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P} + \ldots &= u, \\ \frac{c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz}{2P} + \ldots &= v. \end{aligned} \]

La discussion de ces deux équations pourra être faite de la manière suivante. On remarque d'abord que les deux intégrales $u$ et $v$ peuvent être écrites sous forme de série procédant suivant les puissances croissantes de $x$, $y$ et $z$; nous pouvons d'abord supposer que $v$ ne contient pas de terme du premier degré, il suffit, pour cela, de faire une combinaison linéaire convenable des deux équations précédentes. Écrivons donc \[ \begin{aligned} \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P} + \ldots &= u, \\ \varphi_{2}(x, y, z) + \ldots &= v, \end{aligned} \] $\varphi_{2}(x, y, z)$ étant un polynôme homogène du second degré en $x$, $y$ et $z$. Posons \[ u = t\lambda(t), \quad v = t^{2}\lambda_{1}(t), \] $\lambda$ et $\lambda_{1}$ étant des fonctions holomorphes quelconques de $t$ dans le voisinage de $t = 0$.

De la première équation nous pouvons tirer $z$ sous forme de série procédant suivant les puissances croissantes de $x$, $y$ et $t$; substituons cette valeur de $z$ dans la seconde équation. Il viendra \[ P(x, y) + tQ(x, y, t) = t^{2}\lambda_{1}(t), \tag{1} \] $P$ étant une série dont les premiers termes sont du second degré en $x$ et $y$. Nous avons, de plus, la relation \[ f(x, y, z) = 0 \] qui devient, par la substitution de la valeur de $z$, \[ P_{1}(x, y) + tQ_{1}(x, y, t) = 0, \tag{2} \]

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$P_{1}$ commençant, comme $P$, par des termes du second degré. L'équation \[ P_{1}(x, y) = 0 \] donne les deux branches de la courbe $\Gamma$ passant par l'origine, et il en est de même de \[ P(x, y) = 0. \] Par suite, $P$ et $P_{1}$ peuvent être supposés identiques, et nous avons, à la place des équations (1) et (2), \[ Q(x, y, t) - Q_{1}(x, y, t) = t\lambda_{1}(t), \tag{3} \] \[ P_{1}(x, y) + tQ_{1}(x, y, t) = 0. \tag{4} \] L'équation (3) permettra de développer $y$ suivant les puissances croissantes de $x$ et $t$, et l'on substituera ce développement dans l'équation (4). Il arrivera, par conséquent, que l'équation (4), ainsi transformée, commencera par des termes du second degré en $x$ et $t$; donc, en général, à une valeur de $t$ correspondront deux valeurs de $x$. Les deux équations ne donnent donc pas une inversion uniforme : c'est du moins ce qui aura lieu en général, et, dans chaque cas particulier, on pourra faire la discussion complète en suivant la méthode précédente.

10. Nous avons supposé, dans les numéros qui précèdent, que le point $(x, y, z)$ restait à distance finie. Employons, comme au nº 7 du Chapitre Iᵉʳ, les coordonnées homogènes $(x, y, z, t)$; ces quatre coordonnées ne sont pas nulles à la fois, et soit, par exemple, le point s'éloignant à l'infini, de telle manière que $x$ soit différent de zéro. Nous poserons alors \[ \frac{y}{x} = Y, \quad \frac{z}{x} = Z, \quad \frac{t}{x} = T. \]

Nous avons vu (nº 7, 1ʳᵉ Partie) que la différentielle \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] prend alors la forme \[ \frac{N\,dY - M\,dT}{f'_{z}(1, Y, Z, T)}, \]

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où $M$ et $N$ sont des polynômes en $Y$, $Z$, $T$. Nous aurons donc les deux équations \[ \begin{aligned} \frac{N\,dY - M\,dT}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{N_{1}\,dY - M_{1}\,dT}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] entièrement semblables à celles que nous avons discutées dans les numéros précédents.

Au point à l'infini que nous avions à considérer avec les anciennes variables se trouve substitué un point $(Y, Z, T)$ à distance finie, et l'on peut faire la discussion, comme nous l'avons montré plus haut.

Si l'on revient aux valeurs de $x$, $y$, $z$, dont nous nous sommes servi avant l'emploi des coordonnées homogènes, on aura \[ x = \frac{1}{T}, \quad y = \frac{Y}{T}, \quad z = \frac{Z}{T}. \]

11. Résumons maintenant les résultats de la discussion qui vient d'être faite dans les numéros précédents (du nº 5 au nº 10). Nous supposerons, d'après ce que nous avons dit (nº 9), que la surface n'a pas de points doubles isolés; d'autre part, la surface adjointe \[ R(x, y, z) = 0 \] d'ordre $(n - 4)$ coupe d'abord la surface suivant les courbes doubles, et soit $\Gamma$ la courbe complémentaire d'intersection. La surface $R$ ne sera tangente à la surface donnée $f$ en aucun point de la courbe $\Gamma$ (nº 8), si ce n'est bien entendu aux points de rencontre de la courbe $\Gamma$ et de la courbe double. La courbe $\Gamma$ n'aura pas de points doubles. Nous avons considéré (nº 7) le cas où $(x, y, z)$ s'approche d'un point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de la courbe $\Gamma$; en désignant par $u_{0}$ et $v_{0}$ les valeurs correspondantes de $u$ et $v$, nous avons vu que la limite $\lambda$ du rapport \[ \frac{u - u_{0}}{v - v_{0}} \] était égale à \[ \frac{B(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})} \]

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qui peut aussi s'écrire \[ \frac{A(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{A_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}; \] de plus, $x - x_{0}$ et $y - y_{0}$ sont développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $t$, quand on a posé \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= t\lambda(t), \\ v - v_{0} &= t\lambda_{1}(t) \end{aligned} \] avec la condition \[ B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\lambda(0) - B(x_{0}, y_{0}, z_{0})\lambda_{1}(0) = 0. \]

Supposons maintenant que $(x, y, z)$, partant de $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, suive la courbe $\Gamma$, les valeurs de $u$ et $v$ ne changeront pas; admettons qu'en un autre point $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ on ait \[ \frac{B(x_{1}, y_{1}, z_{1})}{B_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})} = \frac{B(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}; \tag{1} \] les équations \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \\ v - v_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \end{aligned} \] seront vérifiées pour $u = u_{0}$, $v = v_{0}$ par $x = x_{1}$, $y = y_{1}$. Posons, comme plus haut, \[ u - u_{0} = t\lambda(t), \quad v - v_{0} = t\lambda_{1}(t) \] avec la condition \[ B_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\lambda(0) - B(x_{1}, y_{1}, z_{1})\lambda_{1}(0) = 0; \] nous pourrons prendre, par suite, à cause de la relation (1), pour $\lambda$ et $\lambda_{1}$, les mêmes fonctions que précédemment, et l'on voit alors que, pour une même valeur de $t$, on aura à la fois pour $x$ et $y$ des valeurs voisines

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de $(x_{1}, y_{1})$ et des valeurs de $(x_{0}, y_{0})$; $x$ et $y$ ne seraient pas des fonctions uniformes de $u$ et $v$. On conclut de là un théorème fort important pour l'étude qui nous occupe. Les deux équations \[ B - \mu B_{1} = 0, \quad A - \mu A_{1} = 0, \] où $\mu$ est une constante arbitraire, ne peuvent être vérifiées que pour un seul point d'une courbe $\Gamma$, bien entendu, en dehors des points de la courbe double. La courbe $\Gamma$ est donc unicursale, et les trois équations \[ \begin{aligned} B - \mu B_{1} &= 0, \\ A - \mu A_{1} &= 0, \\ f(x, y, z) &= 0 \end{aligned} \] donnent pour $x$, $y$ et $z$ des fonctions rationnelles de $\mu$.

Les conditions que nous venons de trouver sont, d'ailleurs, suffisantes. Considérons, en effet, les équations \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \\ v - v_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}; \end{aligned} \] nous supposons que $(x, y, z)$ arrive en un point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de la courbe $\Gamma$, $u$ et $v$ tendant vers les valeurs $u_{0}$ et $v_{0}$. Je dis que, pour tout système de valeurs $(u, v)$ dans le voisinage de $(u_{0}, v_{0})$, va correspondre. au moyen des équations précédentes, un point parfaitement déterminé $(x, y, z)$; faisons, en effet, partir $(u, v)$ de $(u_{0}, v_{0})$, et indiquons la loi de ce déplacement par les formules \[ u - u_{0} = t\lambda(t), \quad v - v_{0} = t\lambda_{1}(t), \] où $\lambda$ et $\lambda_{1}$ sont deux fonctions holomorphes, d'ailleurs arbitraires, de $t$ dans le voisinage de $t = 0$.

Soit $\mu$ la valeur du quotient $\dfrac{\lambda(0)}{\lambda_{1}(0)}$; à cette valeur ne correspondra

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qu'un point $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ sur la courbe $\Gamma$, et, en raisonnant comme plus haut, on voit que $x - x_{1}$ et $y - y_{1}$ peuvent être développés suivant les puissances de $t$.

12. Nous savons donc maintenant reconnaitre si les équations aux différentielles totales \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv \end{aligned} \] donnent pour $x$ et $y$ des fonctions uniformes de $u$ et $v$.

Ces fonctions seront nécessairement des fonctions quadruplement périodiques de $u$ et $v$. C'est un point qu'il est bien facile d'établir; tout d'abord les deux intégrales \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] n'auront évidemment pas plus de quatre paires de périodes, puisque les fonctions $x$ et $y$ données par les équations aux différentielles totales correspondantes sont des fonctions uniformes. D'autre part, le nombre des périodes sera effectivement quatre; c'est ce qui résulte du théorème suivant que je me borne à énoncer : $q$ intégrales abéliennes distinctes de première espèce correspondant à une courbe de genre $p (q \leq p)$ ne peuvent avoir moins de $2q$ systèmes de périodes simultanées.

Un cas particulier intéressant et simple est celui où la courbe $\Gamma$ n'existerait pas; dans ce cas, la courbe double de la surface serait d'ordre $\dfrac{m(m - 4)}{2}$, et, pour tout système de valeurs de $u$ et $v$, laissant $x$, $y$, $z$ finis, ces fonctions ont une valeur parfaitement déterminée.

Toute surface, dont les coordonnées s'expriment, de la manière indiquée, par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres, donne des exemples de réduction dans le nombre des périodes de certaines intégrales abéliennes correspondant à une courbe algébrique. Considérons une section plane quelconque de la surface \[ f(x, y, z) = 0. \]

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Soit \[ z = ax + by + c \] l'équation du plan sécant; la courbe \[ f(x, y, ax + by + c) = 0 \tag{C} \] présente une particularité intéressante au point de vue de la réduction du nombre des périodes des intégrales abéliennes correspondantes. Si, en effet, dans les deux intégrales \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] on remplace $z$ par \[ ax + by + c, \] $x$ et $y$ étant alors liés par la relation (C), on aura deux intégrales de première espèce correspondant à la courbe (C), ayant seulement quatre paires de périodes simultanées.

13. Quelles sont les surfaces de moindre degré dont les coordonnées peuvent s'exprimer par des fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux paramètres, et de telle manière qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde, abstraction faite de multiples des périodes, qu'un seul système de valeurs des paramètres?

Nous avons vu précédemment (Chap. II, nᵒˢ 4, 5, 6) que les surfaces du quatrième degré et les surfaces du cinquième degré ne pouvaient avoir deux intégrales distinctes de première espèce. Nous pouvons donc en conclure le théorème suivant :

Il n'existe pas de surfaces du quatrième et du cinquième degré dont les coordonnées s'expriment de la manière indiquée par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres.

C'est parmi les surfaces du sixième degré que l'on rencontre les premières surfaces jouissant de cette propriété. En voici un exemple : posons

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\[ \begin{aligned} x &= P(u), \\ y &= Q(v), \\ z &= P'(u) + Q'(v), \end{aligned} \tag{1} \] $P(u)$ désignant la fonction doublement périodique de $u$, liée à sa dérivée $P'(u)$ par la relation \[ P'(u) = \sqrt{aP^{3} + bP^{2} + cP + d}, \] et $Q(v)$ une fonction doublement périodique de $v$ définie par la relation \[ Q'(v) = \sqrt{\alpha Q^{3} + \beta Q^{2} + \gamma Q + \delta}. \]

Les équations (1) définissent donc la surface du sixième degré \[ z = \sqrt{ax^{3} + bx^{2} + cx + d} + \sqrt{\alpha y^{3} + \beta y^{2} + \gamma y + \delta}. \tag{2} \]

A un point arbitraire $(x, y, z)$ ne correspond qu'un seul système de valeurs de $u$ et $v$. Quelles sont les singularités de la surface (2)? Écrivons son équation sous forme homogène \[ zt^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ax^{3} + bx^{2}t + cxt^{2} + dt^{3}} + \sqrt{\alpha y^{3} + \beta y^{2}t + \gamma yt^{2} + \delta t^{3}}. \]

Elle aura pour courbe double la cubique définie par les équations \[ z = 0, \quad ax^{3} + bx^{2}t + cxt^{2} + dt^{3} = \alpha y^{3} + \beta y^{2}t + \gamma yt^{2} + \delta t^{3}, \] et aussi les trois droites \[ t = 0, \quad ax^{3} = \alpha y^{3}. \]

La courbe double est donc du sixième degré, se décomposant en une cubique plane et trois droites.

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QUATRIÈME PARTIE.

1. Nous allons considérer, dans ce Chapitre, les équations différentielles de la forme \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \tag{1} \] $f$ étant un polynôme. On sait qu'il existe une relation algébrique entre une fonction uniforme quadruplement périodique $u(x, y)$ et ses deux dérivées partielles $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}$. Il y aura donc des équations aux dérivées partielles de la forme (1), auxquelles on pourra satisfaire en prenant pour $u$ une fonction uniforme quadruplement périodique de $x$ et $y$ : je me propose de traiter la question inverse, c'est-à-dire de reconnaitre si l'on peut satisfaire à une équation donnée \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \] en prenant pour $u$ une fonction uniforme quadruplement périodique de $x$ et $y$. On voit que c'est l'extension au cas de deux variables, d'un des problèmes traités par MM. Briot et Bouquet dans leur mémorable Mémoire sur l'intégration par les fonctions elliptiques, problème dont l'objet était de reconnaitre si l'équation \[ f\left( u, \frac{du}{dz} \right) = 0 \] pouvait être satisfaite par une fonction doublement périodique de $z$.

Nous commencerons par démontrer le théorème suivant qui est fondamental pour ce qui va suivre :

$u$ étant une fonction uniforme quadruplement périodique de $x$ et $y$, soit \[ f(u, v, w) = 0 \]

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la relation algébrique existant entre $u$ et ses dérivées partielles $v = \dfrac{\partial u}{\partial x}$ et $w = \dfrac{\partial u}{\partial y}$. A un point arbitraire de la surface précédente ne correspond qu'un seul système de valeurs de $x$ et $y$, abstraction faite, bien entendu. de multiples des périodes.

Considérons, pour les deux variables indépendantes de $x$ et $y$, le domaine que, suivant l'expression de M. Kronecker, on peut appeler le prismatoïde des périodes; supposons qu'à un point quelconque $(u, v, w)$ de la surface $f$ correspondent $m$ systèmes de valeurs de $x$ et $y$ \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{2}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{m}, y_{m}), \] considérons les deux sommes $x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m}$ et $y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m}$ : comme pour chaque point $(u, v, w)$ ces expressions n'ont qu'une valeur, abstraction faite de multiples de périodes, ce sont des intégrales de différentielles totales de première espèce. Supposons d'abord qu'elles se réduisent à des constantes. Désignons par \[ (x'_{1}, y'_{1}), \quad (x'_{2}, y'_{2}), \quad \ldots, \quad (x'_{m}, y'_{m}) \] un second système de valeurs, respectivement voisines des premières, pour lesquelles on aura \[ u(x'_{1}, y'_{1}) = u(x'_{2}, y'_{2}) = \ldots = u(x'_{m}, y'_{m}), \] et de même pour $v$ et $w$. Nous avons, d'ailleurs, d'après ce que nous venons de supposer, \[ \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} &= x'_{1} + x'_{2} + \ldots + x'_{m}, \\ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} &= y'_{1} + y'_{2} + \ldots + y'_{m}. \end{aligned} \tag{2} \]

Or on a, à un infiniment petit près par rapport à $x'_{1} - x_{1}$ et $y'_{1} - y_{1}$, \[ u(x'_{1}, y'_{1}) - u(x_{1}, y_{1}) = (x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}}, \]

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et de même \[ \begin{aligned} u(x'_{2}, y'_{2}) - u(x_{2}, y_{2}) &= (x'_{2} - x_{2})\frac{\partial u}{\partial x_{2}} + (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}}, \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ u(x'_{m}, y'_{m}) - u(x_{m}, y_{m}) &= (x'_{m} - x_{m})\frac{\partial u}{\partial x_{m}} + (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \]

Or $v = \dfrac{\partial u}{\partial x}$ et $w = \dfrac{\partial u}{\partial y}$ ont les mêmes valeurs en \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{2}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{m}, y_{m}). \]

On a donc \[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x_{1}} &= \frac{\partial u}{\partial x_{2}} = \ldots = \frac{\partial u}{\partial x_{m}}, \\ \frac{\partial u}{\partial y_{1}} &= \frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots = \frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \tag{3} \]

Des égalités précédentes on conclut \[ \begin{aligned} &(x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = (x'_{2} - x_{2})\frac{\partial u}{\partial x_{2}} + (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots \\ &\qquad = (x'_{m} - x_{m})\frac{\partial u}{\partial x_{m}} + (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \]

D'ailleurs, en vertu des relations (2) et (3), la somme de toutes ces expressions est nulle; nous pouvons donc écrire \[ (x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = 0, \] et, comme $x'_{1} - x_{1}$ et $y'_{1} - y_{1}$ sont dans un rapport arbitraire, on aurait \[ \frac{\partial u}{\partial x_{1}} = \frac{\partial u}{\partial y_{1}} = 0, \] et ces deux relations ne sont évidemment pas vérifiées pour un point arbitraire $(x_{1}, y_{1})$. Par suite, à un point quelconque de la surface \[ f(u, v, w) = 0 \]

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ne correspond qu'un seul système de valeurs de $(x, y)$, abstraction faite des multiples des périodes.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les deux sommes \[ x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} \quad \text{et} \quad y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \] étaient constantes, abstraction faite de multiples de périodes. Examinons les autres circonstances qui pourraient se présenter.

Nous avons dit que les deux sommes précédentes étaient nécessairement des intégrales de différentielles totales de première espèce; ces deux intégrales ne peuvent être distinctes. Soient, en effet, \[ \int^{u, v, w} P\,du + Q\,dv \quad \text{et} \quad \int^{u, v, w} P_{1}\,du + Q_{1}\,dv, \] où $P$ et $Q$ sont rationnelles en $u$, $v$, $w$, ces deux sommes. En remplaçant $u$, $v$, $w$ par leur valeur en $x$ et $y$, chacune des intégrales précédentes devient une fonction linéaire de $x$ et $y$, soient \[ \alpha x + \beta y + \gamma \quad \text{et} \quad \alpha_{1}x + \beta_{1}y + \gamma_{1}. \]

Si l'on n'avait pas $\alpha\beta_{1} - \alpha_{1}\beta = 0$, on pourrait prendre \[ \alpha x + \beta y \quad \text{et} \quad \alpha_{1}x + \beta_{1}y \] comme nouvelles variables à la place de $x$ et $y$, et l'on voit alors qu'à un système de valeurs $u$, $v$, $w$ ne correspondrait qu'un seul système de valeurs de $x$ et $y$.

Des deux intégrales, l'une est donc une fonction entiere et du premier degré de l'autre, soit \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} = A(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m}) + B, \] $A$ et $B$ étant des constantes.

Prenons alors $y - Ax$ et $x$ comme variables dans $u$ et $v$, et désignons $y - Ax$ par $y$, pour ne pas multiplier les notations. Dans ce cas, la somme \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \]

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est constante, la somme \[ x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} \] pouvant être variable. Dans cette hypothèse, cette somme représentera, comme nous l'avons dit, une intégrale de première espèce et pourra, par suite, se mettre sous la forme \[ \alpha x + \beta y + \gamma; \] $\alpha$ ne sera pas nul, sinon il n'y aurait contre l'hypothèse qu'une valeur pour $y$ correspondant à un point $(u, v, w)$. Prenons donc \[ \alpha x + \beta y + \gamma \] pour variable, en la désignant par $x$; de cette manière, à un point quelconque $(u, v, w)$ correspondent $m$ systèmes \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{1}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{1}, y_{m}), \] $x$ ayant la même valeur dans chacun de ces systèmes, et la somme \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \] étant constante.

Répétons alors le mode de raisonnement dont nous nous sommes servi plus haut; nous aurons \[ (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots = (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}, \] et, par suite, \[ y'_{1} - y_{1} = y'_{2} - y_{2} = \ldots = y'_{m} - y_{m}, \] si la valeur commune de $\dfrac{\partial u}{\partial y_{1}}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y_{2}}$, $\ldots$, $\dfrac{\partial u}{\partial y_{m}}$ n'est pas zéro, ce qui aura lieu évidemment pour un système arbitraire $(x_{1}, y_{1})$.

Mais la somme $y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m}$ reste constante, et l'on arrive, par suite, au résultat absurde \[ y'_{1} = y_{1}, \quad y'_{2} = y_{2}, \quad \ldots, \quad y'_{m} = y_{m}. \]

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2. Il résulte immédiatement du théorème précédent que, si l'on peut satisfaire à l'équation \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \] en prenant pour $u$ une fonction uniforme quadruplement périodique de $x$ et $y$, la surface \[ f(u, v, w) = 0 \] rentrera dans la classe des surfaces dont nous avons fait l'étude au Chapitre précédent.

On aura donc tout d'abord à rechercher si l'on peut exprimer $u$, $v$, $w$ par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres $x$ et $y$. La surface devra admettre deux intégrales de première espèce \[ \int \frac{B\,du - A\,dv}{f'_{w}}, \quad \int \frac{B_{1}\,du - A_{1}\,dv}{f'_{w}}. \]

On doit pouvoir trouver deux combinaisons linéaires indépendantes de ces intégrales, telles que les deux équations aux différentielles totales \[ \begin{aligned} \frac{(lB + mB_{1})\,du - (lA + mA_{1})\,dv}{f'_{w}} &= dx, \\ \frac{(nB + pB_{1})\,du - (nA + pA_{1})\,dv}{f'_{w}} &= dy \end{aligned} \tag{1} \] donnent pour $u$, $v$, $w$ des fonctions quadruplement périodiques de $x$ et de $y$, et telles que \[ v = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad w = \frac{\partial u}{\partial y}. \]

Cherchons à quelles conditions on pourra déterminer les quatre constantes $(l, m, n, p)$, de façon qu'il en soit ainsi; nous n'aurons qu'à calculer $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial u}{\partial y}$ à l'aide des équations précédentes. On trouve de suite, en se rappelant que $BA_{1} - AB_{1}$ est divisible par $f'_{w}$, et posant, comme plus haut, \[ \begin{aligned} &BA_{1} - AB_{1} = f'_{w}Q(u, v, w), \\ &\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{nA + pA_{1}}{(lp - mn)Q(u, v, w)}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{lA + mA_{1}}{(lp - mn)Q(u, v, w)}. \end{aligned} \]

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Nous devrons donc avoir \[ \begin{aligned} nA + pA_{1} &= (lp - mn)Q(u, v, w), \\ lA + mA_{1} &= -(lp - mn)Q(u, v, w), \end{aligned} \] et ces relations devant avoir lieu, pour tout point de la surface, seront des identités, puisque les degrés des polynômes qui y figurent sont moindres que le degré de la surface.

Nous pouvons donc enfin écrire \[ \begin{aligned} A &= -Q(u, v, w)(mv + pw), \\ A_{1} &= Q(u, v, w)(lv + nw). \end{aligned} \]

Ainsi les polynômes $A$ et $A_{1}$ doivent être divisibles par $Q(u, v, w)$, et les quotients sont homogènes et linéaires en $v$ et $w$. Lorsque ces conditions seront remplies, on aura, par la division même de $A$ et $A_{1}$ par $Q$, les quatre constantes $l$, $m$, $n$, $p$ et les équations aux différentielles totales (1) qui doivent donner $u$ en fonction de $x$ et $y$ seront complètement déterminées.

3. Les considérations précédentes nous donnent une solution du problème proposé, mais elles exigent la recherche préalable des intégrales de différentielles totales relatives à la surface \[ f(u, v, w) = 0. \tag{1} \]

On peut résoudre autrement le problème, sans passer par cette recherche préalable des intégrales de différentielles totales de première espèce, ou du moins déduire ces intégrales de l'équation proposée et d'une seconde équation qui se forme immédiatement à l'aide d'un polynôme adjoint $Q$.

Désignons comme plus haut (nº 3, Chap. III) par $Q(u, v, w)$ le polynôme adjoint d'ordre $(m - 4)$; ce polynôme sera déterminé à un facteur près, puisque la surface $f$ doit être nécessairement du genre un. Soit $Q$ un polynôme parfaitement déterminé.

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On aura (voir loc. cit.) \[ \frac{Q(u, v, w)\left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} \right)}{f'_{w}(u, v, w)} = a, \] $a$ étant une constante, et cette équation pourra s'écrire \[ \frac{Q(u, v, w)\left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \right)}{f'_{w}(u, v, w)} = a. \tag{2} \]

De l'équation (1), nous tirons d'autre part \[ f'_{u} v + f'_{v}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + f'_{w}\frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y} = 0. \tag{3} \]

Les équations (2) et (3) permettent d'exprimer $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ et $\frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y}$ en fonction de $u$, $v$, $w$.

Portant ces valeurs dans les deux équations \[ du = \frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \frac{\partial u}{\partial y}\,dy, \quad dv = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\,dx + \frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y}\,dy, \] nous allons en tirer \[ \begin{aligned} dx &= M\,du + N\,dv, \\ dy &= M_{1}\,du + N_{1}\,dv, \end{aligned} \] les $M$ et les $N$ étant des fonctions rationnelles de $u$, $v$, $w$. On trouve ainsi \[ \begin{aligned} dx &= \frac{\frac{a f'_{w} f'_{v} - v w Q f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}}\,du - Q w\,dv}{a f'_{w}}, \\ dy &= \frac{\frac{a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}}\,du + Q v\,dv}{a f'_{w}}. \end{aligned} \] $dx$ et $dy$ devront être des différentielles totales de première espèce. On devra donc pouvoir choisir la constante $a$ de telle sorte que \[ \frac{a f'_{v} f'_{w} - v w Q f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}} \tag{4} \]

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puisse se mettre sous la forme d'un polynôme entier en $u$, $v$, $w$, en tenant compte toutefois de la relation \[ f(u, v, w) = 0. \]

Il en sera de même pour l'expression \[ \frac{a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}} \tag{5} \] qui, pour la même valeur de $a$, devra être égale à un polynôme. On aura immédiatement la valeur de $a$ qui pourrait remplir les conditions précédentes, en prenant un système $(u, v, w)$ satisfaisant aux deux équations \[ v f'_{v} + w f'_{w} = 0, \quad f(u, v, w) = 0, \] et pour lequel $f'_{w}$ soit différent de zéro. L'équation \[ a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u} = 0 \] donnera la valeur de $a$, et il restera simplement à vérifier si les deux expressions (4) et (5) sont susceptibles de la forme indiquée. S'il en est ainsi, on n'aura plus qu'à vérifier si $dx$ et $dy$ sont des différentielles totales de première espèce, et l'étude s'achèvera comme au numéro précédent.

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On the integrals of algebraic total differentials of the first kind;

By M. Émile Picard.

One knows the importance in Analysis of the integrals \[ \int P(x, y)\,dx, \tag{1} \] where $P(x, y)$ denotes a rational function of $x$ and $y$, and where $y$ is the algebraic function of $x$ defined by the relation \[ f(x, y) = 0, \] $f$ being a polynomial. These integrals have been divided into three kinds; we need here only recall the definition of the integrals of the first kind : an integral such as (1) is said to be of the first kind when it remains finite for every value, finite or infinite, of the variable $x$.

Let us now consider an algebraic function $z$ of two independent variables $x$ and $y$, defined by the irreducible equation \[ f(x, y, z) = 0, \] where $f$ is a polynomial. One may make correspond to this surface integrals of total differentials of the form \[ \int P(x, y, z)\,dx + Q(x, y, z)\,dy, \tag{2} \]

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where $P$ and $Q$ are rational functions of $x$, $y$ and $z$; these two functions cannot, of course, be taken arbitrarily, and the condition of integrability of the differential expression \[ P\,dx + Q\,dy \] must be supposed satisfied.

The integrals of the form (2) admit a classification analogous to the one just recalled for the integrals of algebraic differentials in the case of a single variable. We wish to consider in this work only the integrals of total differentials of the first kind ${}^{(1)}$, that is to say those which remain finite for every system of values, finite or infinite, of the independent variables $x$ and $y$.

From the very beginning of this study, one meets a very profound difference between the case of one variable and that of two variables. One knows, in fact, that to an algebraic curve there correspond in general integrals of the first kind; thus, to speak more precisely, the most general curve of a given degree $m$ possesses a certain well known number of linearly independent integrals of the first kind.

It is not so for algebraic surfaces : there exist no integrals of total differentials of the first kind corresponding to the most general surface of degree $m$. How can one recognize whether a given surface possesses integrals of the first kind, and what is the number of these linearly independent integrals? Such are the questions with which we occupy ourselves in the first two Chapters of this Memoir.

The third Chapter is devoted to the study of a class of algebraic surfaces in which the notion of the integrals of the first kind plays an important role : these are the surfaces for which the coordinates of an arbitrary point are expressed by single-valued

(1) On the integrals of the second kind, I have already presented some considerations in the Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (March 1885); the study of these integrals and of those of the third kind will be the object of another Memoir.

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quadruply periodic functions of two parameters, and we add to it this further condition, that to an arbitrary point of the surface there correspond only a single system of values of the two parameters, leaving aside, of course, multiples of the periods. Such would not be, for example, the case of the celebrated surface of the fourth degree discovered by Kummer; the coordinates of a point of this surface are indeed expressed by single-valued quadruply periodic functions of two parameters; but it is easy to verify that, in this case, to an arbitrary point of the surface there correspond two distinct systems of values of these parameters. We show how one can recognize whether a given surface is capable of having the coordinates of any one of its points expressed, in the manner indicated, by quadruply periodic functions of two parameters. One must go as far as the surfaces of the sixth degree to meet a surface enjoying this property.

We conclude this work with the study of the equations of the form \[ f\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right) = 0, \] proposing to recognize whether one can satisfy this equation by taking for $u$ a single-valued quadruply periodic function of $x$ and $y$; it is, as one sees, the generalization of a problem treated by MM. Briot and Bouquet in their beautiful Memoir on the integration of the differential equations of the form \[ f\left(u, \frac{du}{dz}\right) = 0 \] by means of elliptic functions.

FIRST PART.

1. Let there be given an algebraic relation of degree $m$ \[ F(x, y, z) = 0 \] defining an algebraic function $z$ of $x$ and $y$, and let us consider the total

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differential \[ \frac{P\,dx + Q\,dy}{M}, \] where $P$, $Q$ and $M$ are polynomials in $x$, $y$ and $z$, and for which the condition of integrability is supposed satisfied.

Let us perform on $x$, $y$, $z$ an arbitrary homographic transformation \[ \begin{aligned} x &= \frac{a_{1}x' + b_{1}y' + c_{1}z' + d_{1}}{ax' + by' + cz' + d},\\ y &= \frac{a_{2}x' + b_{2}y' + c_{2}z' + d_{2}}{ax' + by' + cz' + d},\\ z &= \frac{a_{3}x' + b_{3}y' + c_{3}z' + d_{4}}{ax' + by' + cz' + d}; \end{aligned} \] the preceding relation will become \[ f(x', y', z') = 0. \]

Let us differentiate $x$ and $y$; one will have \[ dx = \frac{A\,dx' + B\,dy'}{(ax' + by' + cz' + d)^{2}\dfrac{\partial f}{\partial z'}}, \quad dy = -\frac{A_{1}\,dx' + B_{1}\,dy'}{(ax' + by' + cz' + d)^{2}\dfrac{\partial f}{\partial z'}}. \] $A$ and $A_{1}$ being polynomials in $x'$, $y'$, $z'$, of degree $m - 1$ with respect to $x'$ and $z'$, and of degree $m$ with respect to $y'$; likewise $B$ and $B_{1}$ are polynomials of degree $m - 1$ in $y'$ and $z'$, and of degree $m$ with respect to $x'$.

If now $n'$ is the degree of $P$ and $Q$, and $n$ that of $M$, one will have \[ \frac{P}{M} = \frac{P'}{M'(ax' + by' + cz' + d)^{n'-n}}, \quad \frac{Q}{M} = \frac{Q'}{M'(ax' + by' + cz' + d)^{n'-n}}, \] $P'$ and $Q'$ being of degree $n'$, and $M'$ of degree $n$.

It follows that the preceding expression takes the form, on suppressing the primes, \[ \frac{P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy}{M_{1}f'_{z}(x, y, z)}, \] denoting by $\mu$ the degree of $M_{1}$ with respect to $x$, $y$ and $z$; the degree

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of $P_{1}$ with respect to $x$ and $z$ is $\mu + m - 3$, and with respect to $y$ is $\mu + m - 2$; likewise for $Q_{1}$ the degree with respect to $y$ and $z$ is $\mu + m - 3$, and $\mu + m - 2$ with respect to $x$.

The total differential being put under this form, let us now consider the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy}{M_{1}f'_{z}}, \] and let us suppose that, for every finite or infinite value of $x$ and $y$, this integral remains finite; let us seek what consequence one may draw from it : $z$ is defined as a function of $x$ and $y$ by the relation \[ f(x, y, z) = 0 \] of degree $m$, and we may evidently suppose that it contains a term in $z^{m}$.

If we first leave $y$ constant, letting only $x$ vary, we shall have an ordinary abelian integral of the first kind, and, in order that it be of the first kind, it is necessary that $M_{1}$ do not depend on $x$; the same reasoning, applied to $y$, shows us that $M_{1}$ cannot depend on $y$. We thus arrive at once at this conclusion, that $M_{1}$ must be a constant, and we shall write the integral under the form \[ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{P\,dx + Q\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \tag{1} \] $P$ is a polynomial of degree $m - 2$ in $x$, $y$, $z$, and of degree $m - 3$ in $x$ and $z$; similarly, $Q$ is a polynomial of degree $m - 2$ in $x$, $y$ and $z$, and of degree $m - 3$ in $y$ and $z$.

2. We have so far left aside the condition of integrability, which we have now to consider. One will have \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{P}{f'_{z}}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Q}{f'_{z}}\right), \] regarding $z$ as a function of $x$ and $y$. This relation may

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be written \[ \begin{aligned} &\left(\frac{\partial P}{\partial y}f'_{z} - \frac{\partial P}{\partial z}f'_{y}\right)f'_{z} - P(f''_{zy}f'_{z} - f''_{zz}f'_{y}) \\ &\qquad - \left(\frac{\partial Q}{\partial x}f'_{z} - f'_{x}\frac{\partial Q}{\partial z}\right)f'_{z} + Q(f''_{zx}f'_{z} - f''_{zz}f'_{x}) = 0. \end{aligned} \]

The first member of this equality is a polynomial in $x$, $y$ and $z$; it is not necessarily identically zero, but only in virtue of the equation \[ f(x, y, z) = 0; \] one easily recognizes that one may write the preceding relation under the form \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}}\right) = 0. \tag{1} \]

Now, if in the integral (1) we take $x$ and $z$ for variables instead of $x$ and $y$, we must fall upon an expression of the same form; now the integral becomes \[ \int \frac{\left(\dfrac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}}\right)\,dx - Q\,dz}{f'_{y}}. \]

It is therefore necessary that the expression \[ \frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}} \] can, in virtue of the equation $f(x, y, z) = 0$, be put under the form of a polynomial in $x$, $y$ and $z$. Let us therefore set \[ \frac{Pf'_{y} - Qf'_{x}}{f'_{z}} = R, \] or, writing it under the form of an identity independently of the equation $f = 0$, \[ Pf'_{y} - Qf'_{x} - Rf'_{z} = Nf(x, y, z), \tag{2} \] $N$ being also a polynomial.

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This laid down, let us return to equation (1), which may be written \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial z} + N + f(x, y, z)\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{N}{f'_{z}}\right) = 0. \]

One has consequently, in virtue of $f = 0$, \[ -\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial z} + N = 0. \tag{3} \]

But $P$, $Q$, $R$ and $N$ are polynomials of degree less than $m$. If therefore, as we suppose, the polynomial $f(x, y, z)$ is not a product of polynomials of lower degree, the preceding equality will be an identity, whatever $x$, $y$ and $z$ may be.

$P$ is of degree $m - 3$ with respect to $x$ and to $z$, and of degree $m - 2$ in $y$; $Q$ is of degree $m - 3$ in $y$ and $z$, and of degree $m - 2$ in $x$; finally $R$ is of degree $m - 3$ with respect to $x$ and $y$, and of degree $m - 2$ with respect to $z$, and these three polynomials are of degree $m - 2$ in $x$, $y$, $z$ taken simultaneously. As for $N$, it is of degree $m - 3$ in $x$, $y$ and $z$.

Let us set \[ Q = -A, \quad P = +B, \quad R = -C. \]

The identities (2) and (3) will be summed up in the single identity \[ Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} = \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right)f(x, y, z). \]

Thus one must be able to find three polynomials $A$, $B$, $C$ of the degrees indicated with respect to the variables $x$, $y$, $z$, and such that the preceding identity be verified.

3. We can go more deeply into the form of the polynomials $A$, $B$, $C$. These are necessarily of the form \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\psi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z), \\ C &= z\chi(x, y, z) + C_{1}(x, y, z), \end{aligned} \]

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$\varphi$, $\psi$ and $\chi$ being homogeneous polynomials in $x$, $y$ and $z$ of degree $m - 3$; as for $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, these are polynomials in $x$, $y$ and $z$ of order $m - 3$.

Now let us consider the integral \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}. \]

Let us set $y = \mu x$, $\mu$ being a constant; we shall have the abelian integral of the first kind \[ \int \frac{(B - A\mu)\,dx}{f'_{z}}; \] $B - A\mu$ must be at most of degree $m - 3$; hence the expression \[ \mu x[\psi(x, \mu x, z) - \varphi(x, \mu x, z)] \] which, in $B - A\mu$, is of degree $m - 2$, must be zero, and one will then have \[ \psi(x, \mu x, z) - \varphi(x, \mu x, z) = 0, \] whatever $\mu$ may be; one concludes from it, since $\psi$ and $\varphi$ are homogeneous, \[ \psi(x, y, z) = \varphi(x, y, z). \]

On putting the integral under the form \[ \int \frac{-C\,dx + A\,dz}{f'_{y}}, \] one would prove in the same manner that $\chi(x, y, z) = \varphi(x, y, z)$.

We arrive at the following conclusion : \[ \varphi(x, y, z) = \psi(x, y, z) = \chi(x, y, z). \]

4. We have just found the necessary forms of the integrals of total differentials which remain finite. We have now to ask ourselves whether the integrals fulfilling the preceding questions always remain finite.

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We suppose therefore that one has, after an arbitrary homographic transformation, the surface \[ f(x, y, z) = 0. \]

This one possesses only ordinary singularities, that is to say either isolated double points, for which the tangent cone does not reduce to two planes, or double curves, without singular points, for which the two planes tangent to the surface at each point will be always distinct.

We suppose that one can find three polynomials $A$, $B$, $C$ satisfying the following conditions : the first, $A$, is at most of degree $m - 2$ with respect to $x$, and of degree $m - 3$ with respect to $y$ and $z$; $B$ is of degree $m - 2$ with respect to $y$, and of degree $m - 3$ with respect to $x$ and $z$; finally $C$ is of degree $m - 2$ in $z$, and of degree $m - 3$ in $x$ and $y$. One has moreover the identity \[ A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z) \tag{2} \]

This laid down, let us consider the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \] the condition of integrability will be fulfilled, for it reduces (no. 1) to \[ - \frac{\partial B}{\partial y} - \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{B f'_{y} + A f'_{x}}{f'_{z}} \right) = 0. \]

Now, according to the identity, one has, taking account of $f(x, y, z) = 0$, \[ \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{B f'_{y} + A f'_{x}}{f'_{z}} \right) = - \frac{\partial C}{\partial z} + \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}, \] and, consequently, the condition of integrability is verified.

We are going to seek whether the integral remains finite for every value of the analytic point $(x, y, z)$.

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5. Let us first consider only points at a finite distance. If $(x, y, z)$ is not a double point of the surface, there is no difficulty, for the result appears immediately, on employing one or another of the three forms of the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} = \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{- C\,dx + A\,dz}{f'_{y}(x, y, z)} = \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{C\,dy - B\,dz}{f'_{x}(x, y, z)}. \]

Let us suppose, in the second place, that $(x, y, z)$ tends toward an isolated double point $(a, b, c)$ of the surface. One will remark first that the surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] pass through this point; one has, in fact, on differentiating the identity (2) with respect to $x$, $y$ and $z$, and making $x = a$, $y = b$, $z = c$, \[ \begin{aligned} A(a, b, c) f''_{aa} + B(a, b, c) f''_{ab} + C(a, b, c) f''_{ac} &= 0, \\ A(a, b, c) f''_{ab} + B(a, b, c) f''_{bb} + C(a, b, c) f''_{bc} &= 0, \\ A(a, b, c) f''_{ac} + B(a, b, c) f''_{bc} + C(a, b, c) f''_{cc} &= 0; \end{aligned} \] one concludes from it that \[ A(a, b, c) = B(a, b, c) = C(a, b, c) = 0, \] since the determinant of the second derivatives of $f$ is not zero at the point $abc$, which is not a biplanar point.

Let us set \[ y = b + t(x - a), \] $t$ being the variable which we are going to substitute for $y$, and let \[ f(x, y, z) = \varphi(x - a, y - b, z - c) + \psi(x - a, y - b, z - c) + \ldots \] $\varphi$, $\psi$, … being homogeneous with respect to $x - a$, $y - b$, $z - c$ and of degrees respectively equal to two, three, …, and $\varphi$ containing a term in $(z - c)^{2}$; it will be so if, as one may suppose, the parallels drawn through $(a, b, c)$ to the coordinate axes are not on the cone.

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From the equation $f(x, y, z) = 0$ one will deduce for $z = c$ two distinct developments ordered according to the increasing powers of $x - a$, except for the values of $t$ such that the equation of the second degree in $\theta$ \[ \varphi(1, t, \theta) = 0 \] has a double root; these values of $t$ are evidently two in number, and one may suppose them finite, say $t_{1}$ and $t_{2}$.

This laid down, $t$ having a variable value, but not tending toward $t_{1}$ or $t_{2}$, the expression \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] will take the form \[ \frac{(B - At)\,dx - A(x - a)\,dt}{f'_{z}}. \]

Now $B$ and $A$ contain $(x - a)$ as a factor, and $f'_{z}$ contains $(x - a)$ as a factor, but does not contain $(x - a)^{2}$. It results from this that the integral will certainly tend toward a finite value when $(x, y, z)$ tends toward $(a, b, c)$ in such a manner that the ratio $\dfrac{y - b}{x - a}$ has a limit different from $t_{1}$ or $t_{2}$.

There is no difficulty in studying the case where the ratio $\dfrac{y - b}{x - a}$ tends toward $t_{1}$ or $t_{2}$; it suffices, for that, to employ one of the other forms of the integral. The planes parallel to the coordinate planes passing through the point $(a, b, c)$ being supposable non-tangent to the cone, \[ \varphi(x - a, y - b, z - c) = 0, \] the difficulty which presented itself relative to $x$ and $y$ taken as independent variables will no longer present itself with $x$ and $z$, since a plane tangent to the conical surface cannot pass at once through the axis of $z$ and the axis of $y$.

We see therefore that, in whatever manner the point $x$, $y$, $z$ tends toward the double point $(a, b, c)$, the value of the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \]

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remains finite. One sees, moreover, quite easily that the value of this integral is independent of the manner in which the point $(x, y, z)$ approaches the double point. Let there be, in fact, after a suitable choice of axes, and the origin being at the double point, \[ f(x, y, z) = Mx^{2} + Ny^{2} + Pz^{2} + U(x, y, z), \] the terms following the first three being of degree higher than two, and one has \[ MNP \neq 0; \] let us set \[ \begin{aligned} A &= ax + by + cz + \ldots, \\ B &= a'x + b'y + c'z + \ldots, \\ C &= a''x + b''y + c''z + \ldots; \end{aligned} \] the identity \[ A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z) \] gives at once this other identity \[ \begin{aligned} &2(ax + by + cz)Mx + 2(a'x + b'y + c'z)Ny + 2(a''x + b''y + c''z)Pz \\ &\qquad = (a + b' + c'')(Mx^{2} + Ny^{2} + Pz^{2}); \end{aligned} \] one concludes from it immediately \[ \begin{aligned} &a = b' = c'' = 0, \\ &Mc + Pa'' = 0, \quad Mb + Na' = 0, \quad Nc' + Pb'' = 0. \end{aligned} \]

There will come therefore \[ B\,dx - A\,dy = z(c'\,dx - c\,dy) + a'x\,dx - By\,dy + \varphi\,dx + \psi\,dy, \] $\varphi$ and $\psi$ being at least of the second degree in $x$, $y$ and $z$; the element of the integral will then be \[ \frac{z(c'\,dx - c\,dy) + a'x\,dx - by\,dy + \varphi\,dx + \psi\,dy}{2Pz + U'_{z}(x, y, z)}; \]

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now, according to one of the preceding equalities, $a' = \lambda M$, $b = -\lambda N$ : we shall therefore be able to put this expression under the form \[ \frac{z(c'\,dx - c\,dy - \lambda P\,dz) + \varphi_{1}\,dx + \psi_{1}\,dy + \chi_{1}\,dz}{2Pz + U'_{z}(x, y, z)}, \] $\varphi_{1}$, $\psi_{1}$ and $\chi_{1}$ being at least of the second degree in $x$, $y$, $z$. Let us now suppose that $x$ and $y$ tend toward zero, the limit of $\dfrac{y}{x}$ being finite and not annulling $M + N\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}$; under this hypothesis, $\dfrac{x}{z}$ and $\dfrac{y}{z}$ will have finite limits, and the last element of the integral will reduce to \[ \frac{c'\,dx - c\,dy - \lambda P\,dz}{2P}. \] It is therefore independent of the limit of $\dfrac{y}{x}$. On employing one or another form of the integral, one would treat in a wholly similar manner the cases excluded in the preceding reasoning.

6. Let us now study the value of the integral when $(x, y, z)$ approaches a point of the double curve of the surface.

We are going to join to the hypotheses previously made the following one. The surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] pass through the double curve of the surface. I say that, under these conditions, the integral remains finite for every point of the double curve.

Let $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ be the coordinates of a point $P$ of the double curve; through this point there pass two sheets of the surface having, by hypothesis, two different tangent planes. Let us suppose that $(x, y, z)$ tends toward $P$ while remaining on a certain sheet; the plane tangent to this sheet at $P$ is not parallel to the three coordinate axes; let us suppose, to fix the ideas, that it is not parallel to the axis of $z$.

For one of the sheets, one will have, in the neighbourhood of $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, \[ z - z_{1} = a(x - x_{1}) + b(y - y_{1}) + \varphi(x - x_{1}, y - y_{1}). \tag{1} \] $\varphi$ containing only terms of degree higher than the first.

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For the other sheet, one will have similarly \[ z - z_{1} = a'(x - x_{1}) + b'(y - y_{1}) + \psi(x - x_{1}, y - y_{1}). \tag{2} \] and one does not have at the same time \[ a = a', \quad b = b'. \]

The equation of the surface may evidently be put under the form \[ \begin{aligned} &f(x, y, z) = F \times [z - z_{1} - a(x - x_{1}) - b(y - y_{1}) - \varphi] \\ &\qquad \times [z - z_{1} - a'(x - x_{1}) - b'(y - y_{1}) - \psi]. \end{aligned} \] $F$ depending on $x$, $y$, $z$ and having a finite value different from zero for $x = x_{1}$, $y = y_{1}$, $z = z_{1}$.

One concludes from it that, for every point $xyz$ of the sheet (1), one will have \[ \begin{aligned} &f'_{z}(x, y, z) = F \times [(a - a')(x - x_{1}) + (b - b')(y - y_{1}) \\ &\qquad + \varphi(x - x_{1}, y - y_{1}) - \psi(x - x_{1}, y - y_{1})]. \end{aligned} \]

The equation of the projection of the double curve on the plane of the $xy$ is obtained by eliminating $z$ between the equations (1) and (2), which gives immediately \[ (a - a')(x - x_{1}) + (b - b')(y - y_{1}) + \varphi - \psi = 0. \tag{3} \] One does not have at the same time $a - a' = 0$, $b - b' = 0$; let, for example, $b - b' \neq 0$.

We shall be able to draw from equation (3) \[ y - y_{1} = P(x - x_{1}). \] $P$ being a series, without constant term, proceeding according to the powers of $x - x_{1}$.

This laid down, let \[ A(x, y, z) = 0 \] be the equation of a surface passing through the double curve; $z$ being replaced

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by the development (1), one will have, for the points of the sheet (1) in the neighbourhood of $P$, \[ A(x, y, z) = \chi(x - x_{1}, y - y_{1}), \] and this function will be identically zero when one replaces $y - y_{1}$ by $P(x - x_{1})$.

One will therefore have \[ A(x, y, z) = [y - y_{1} - P(x - x_{1})]\chi_{1}(x - x_{1}, y - y_{1}), \] $\chi_{1}$ being, like $\chi$, a series proceeding according to the powers of $x - x_{1}$ and $y - y_{1}$; one will remark, on the other hand, according to what has been said above, that \[ f'_{z}(x, y, z) = F_{1} \times [y - y_{1} - P(x - x_{1})], \] $F_{1}$ depending on $x$, $y$, $z$ and being finite and different from zero for $x = x_{1}$, $y = y_{1}$, $z = z_{1}$.

If we now consider the quotient \[ \frac{A(x, y, z)}{f'_{z}(x, y, z)}, \] one sees, according to what precedes, that it will tend toward a determinate finite value when $(x, y, z)$ approaches $P$, remaining on one or the other sheet of the surface.

It is easy now to find what the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)}, \] becomes when $(x, y, z)$ tends toward $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$. The two expressions \[ \frac{B}{f'_{z}} \quad \text{and} \quad \frac{A}{f'_{z}} \] being determinate and continuous in the neighbourhood of this point, the integral will necessarily have a finite and determinate value.

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7. It remains to study the integral when the variables become infinite. We are going, to this end, to transform the integral by making use of homogeneous coordinates. Let us therefore replace $x$, $y$, $z$ by $\dfrac{x}{t}$, $\dfrac{y}{t}$, $\dfrac{z}{t}$, and let us recall that we have found (no. 3) \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z). \end{aligned} \] $\varphi$ is homogeneous and of degree $(m - 3)$ in $x$, $y$ and $z$; $A_{1}$ and $B_{1}$ are polynomials of degree $m - 3$ in $x$, $y$ and $z$.

We shall therefore have, on making the polynomials homogeneous, \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} = \frac{[y\varphi(x, y, z) + tB_{1}(x, y, z, t)](t\,dx - x\,dt) - [x\varphi(x, y, z) + tA_{1}(x, y, z, t)](t\,dy - y\,dt)}{tf'_{z}(x, y, z, t)}, \] which may be written \[ \frac{-(x\,dy - y\,dx)(x\varphi + tA_{1}) + (A_{1}y - B_{1}x)(x\,dt - t\,dx)}{xf'_{z}(x, y, z, t)}. \] $x$, $y$, $z$, $t$ are not zero at the same time; let $x \neq 0$, and let us then set \[ \frac{y}{x} = Y, \quad \frac{z}{x} = Z, \quad \frac{t}{x} = T; \] the differential expression will become \[ \frac{-[\varphi(1, Y, Z) + TA_{1}(1, Y, Z, T)]\,dY + [YA_{1}(1, Y, Z, T) - B_{1}(1, Y, Z, T)]\,dT}{f'_{Z}(1, Y, Z, T)} \] and we are brought back to studying the value of an integral of the same form as the one which has been studied in the preceding numbers, and for finite values of the variables.

We can therefore state the following theorem :

The integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}(x, y, z)} \]

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remains finite for every value, finite or infinite, of $x$ and $y$; it is indeterminate, though finite, for the infinite values given to the variables.

8. We therefore know how to recognize, a surface \[ f(x, y, z) = 0, \] being given, whether or not it possesses integrals of total differentials of the first kind, designating thus the integrals which always remain finite.

It is not here as in the case of algebraic curves; the most general surface of degree $m$ does not possess integrals of the first kind. In other terms, the most general surface of order $m$ being considered \[ f(x, y, z) = 0, \] one cannot find polynomials $A$, $B$, $C$ of the form \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + A_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + B_{1}(x, y, z), \\ C &= z\varphi(x, y, z) + C_{1}(x, y, z), \end{aligned} \] where $\varphi$ is a polynomial of order $m - 3$ and homogeneous in $x$, $y$, $z$, and $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ are polynomials of degree at most equal to $m - 3$ with respect to these variables, which satisfy the identity \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z). \]

This is what we are going to show in a moment; but let us first write the preceding identity under another form. It does not appear easy to state, under geometric form, the necessary and sufficient conditions for one to be able to satisfy this fundamental identity. Let us merely transform it so as to give it a more symmetric form.

One may write it \[ m A f'_{x} + m B f'_{y} + m C f'_{z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) (x f'_{x} + y f'_{y} + z f'_{z} + f'_{t}). \]

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Let us now set \[ \begin{aligned} \theta_{1} &= m A - x \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{2} &= m B - y \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{3} &= m C - z \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \\ \theta_{4} &= - \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right), \end{aligned} \] the $\theta$ being thus polynomials of order $m - 3$, as one recognizes on referring to the forms of $A$, $B$, $C$.

The identity may be written \[ \theta_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + \theta_{2} \frac{\partial f}{\partial y} + \theta_{3} \frac{\partial f}{\partial z} + \theta_{4} \frac{\partial f}{\partial t} = 0. \tag{1} \]

Let us consider the $\theta$ as homogeneous polynomials of order $m - 3$ in $x$, $y$, $z$, $t$. One will have between these polynomials the following relation, which results immediately from their expression in $A$, $B$, $C$ : \[ \frac{\partial \theta_{1}}{\partial x} + \frac{\partial \theta_{2}}{\partial y} + \frac{\partial \theta_{3}}{\partial z} + \frac{\partial \theta_{4}}{\partial t} = 0. \]

We have said that the most general surface of degree $m$ did not possess an integral of the first kind. I say, in fact, that, $f(x, y, z)$ being the general polynomial of order $m$, one cannot find four polynomials $\theta_{1}$, $\theta_{2}$, $\theta_{3}$, $\theta_{4}$ of degree $(m - 3)$ verifying the identity (1). Let us consider, in fact, the three surfaces \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0; \] they have no common curve, and they have in common a number of distinct points equal to $(m - 1)^{3}$. For these points, one has \[ \theta_{4} \frac{\partial f}{\partial t} = 0; \]

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but the second factor will certainly not be zero, since the surface would then have double points; the points considered therefore belong to the surface of degree $m - 3$ \[ \theta_{4} = 0; \] consequently, the four surfaces \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0, \quad \theta_{4} = 0 \] have in common $(m - 1)^{3}$ distinct points. Now that is impossible, for, if we consider the two surfaces of degree $m - 1$ \[ \begin{aligned} \alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial f}{\partial y} + \gamma \frac{\partial f}{\partial z} &= 0, \\ \alpha' \frac{\partial f}{\partial x} + \beta' \frac{\partial f}{\partial y} + \gamma' \frac{\partial f}{\partial z} &= 0, \end{aligned} \] the $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ being arbitrary constants, the intersection of these two surfaces would have to meet the surface $\theta_{4}$ in $(m - 1)^{3}$ points. It is, moreover, impossible that the two preceding surfaces should have a line in common with the surface $\theta_{4}$, if the $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ are taken arbitrarily.

CHAPTER II.

1. We have admitted, in the preceding numbers, that the surface had only isolated double points and double curves. One may suppose, without more complication, that it has multiple points and multiple curves of arbitrary order, provided that these singularities be ordinary singularities; we shall understand by that, that at an isolated multiple point of order $k$ the cone of order $k$ formed by the tangents has no multiple lines; likewise, at every point of a multiple curve of order $k$, the $k$ planes tangent to the $k$ sheets of the surface passing through the multiple curve are distinct.

Let us then seek how the statements previously given must be modified in order that the surface possess integrals of the first kind. Let $A$, $B$, $C$ be three polynomials of the degrees indicated, satisfying

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the fundamental identity \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z). \]

The surfaces $A = 0$, $B = 0$, $C = 0$ will pass through the multiple curves, and a multiple curve of order $k$ of the proposed surface will be, for each of these surfaces, a multiple curve of order $(k - 1)$. These conditions are, moreover, necessary and sufficient in order that the integral \[ \int^{(x, y, z)} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] remain finite at every point of a multiple curve.

The study of the value of the integral, when $(x, y, z)$ tends toward an isolated multiple point, is a little less simple. Let us suppose that this multiple point is at the origin of the coordinates. Let this point be of order $p$, and let us write \[ f(x, y, z) = \varphi(x, y, z) + \ldots, \] $\varphi(x, y, z)$ being homogeneous and of degree $p$, and the other terms being of degree higher than $p$ in $x$, $y$ and $z$. Let likewise $\alpha$, $\beta$ and $\gamma$ be the homogeneous terms of lowest degree in $x$, $y$, $z$ in $A$, $B$ and $C$; one will have the identity \[ \alpha \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \beta \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \gamma \frac{\partial \varphi}{\partial z} = \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \varphi(x, y, z); \] let us dwell a moment on this relation. On joining it to \[ x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + z \frac{\partial \varphi}{\partial z} = p\varphi. \] we shall have the identity \[ \begin{aligned} &0 = \left[ p\alpha - x \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\ &\qquad + \left[ p\beta - y \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ &\qquad + \left[ p\gamma - z \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right) \right] \frac{\partial \varphi}{\partial z}. \end{aligned} \]

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We do not know a priori the degree of $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; if this degree is at most equal to $p - 2$, we are going immediately to find the form of these polynomials; we have, in fact, in this case, a relation of the form \[ P \frac{\partial \varphi}{\partial x} + Q \frac{\partial \varphi}{\partial y} + R \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0, \tag{1} \] where $P$, $Q$, $R$ are homogeneous polynomials whose degree is at most equal to $p - 2$. The points common to $\dfrac{\partial \varphi}{\partial y} = 0$ and to $\dfrac{\partial \varphi}{\partial z} = 0$ must belong to the curve $P = 0$, since one cannot have at the same time $\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} = 0$, the cone having no multiple generator. Now the points common to the two curves of degree $p - 1$ \[ \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0 \] cannot belong to the curve of degree $p - 2$ \[ P = 0, \] and we conclude from this that $P$, $Q$ and $R$ must be identically zero. One has, consequently, \[ \frac{\alpha}{x} = \frac{\beta}{y} = \frac{\gamma}{z}. \] Let $T$ be the common value of these ratios; one will have \[ pT = \left( \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial \beta}{\partial y} + \frac{\partial \gamma}{\partial z} \right), \] which shows first that $T$ will be a homogeneous polynomial in $x$, $y$, $z$. Moreover, let $q$ be its degree; the preceding equality will give us \[ pT = qT + 3T, \] whence \[ q = p - 3. \] Thus, if the degree of $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ does not attain $p - 1$, one will necessarily have \[ \alpha = xT, \quad \beta = yT, \quad \gamma = zT, \]

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$T$ being a polynomial of degree $p - 3$. We are therefore assured that the surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \] have a multiple point of order at least equal to $(p - 2)$, at an isolated multiple point of order $p$ of the proposed surface. In the case where the order of multiplicity is $(p - 2)$, the terms of degree $(p - 2)$ in $A$, $B$, $C$ have the special forms which have just been indicated.

2. It is easy to see now that, under these conditions, the integral \[ \int^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] remains finite at the multiple point considered; we suppose, as above, that this multiple point is the origin.

If the origin is a multiple point of order $p - 1$ for the surfaces \[ B = 0, \quad A = 0, \] there is no modification to make to the reasoning which was made for the case of the double point (no. 5).

If the origin is only a multiple point of order $p - 2$, we may set, according to what has just been said in the preceding number, \[ A = xT + A_{1}, \quad B = yT + B_{1}, \] $A_{1}$ and $B_{1}$ containing only terms of degree higher than $p - 2$; one has then the sum of the two integrals \[ \int \frac{T(y\,dx - x\,dy)}{f'_{z}} + \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] We have just said that the second remained finite; as for the first, it is comparable to the ordinary abelian integral \[ \int \frac{T\left(1, \frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right) d\left(\frac{y}{x}\right)}{\varphi'_{z}\left(1, \frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)} \]

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attached to the curve $\varphi(x, y, z) = 0$; and this integral remains finite, since $T$ is a polynomial of degree $p - 3$.

It evidently results from the preceding calculation that at an isolated multiple point of order $p$ ($p$ being greater than two), the integral of a total differential of the first kind may have, while still remaining finite, an indeterminate value.

It was not so at a non-planar double point; we have seen (no. 5, First Part) that, in this case, the integral always had a determinate value.

3. We shall now make some remarks relative to the case where the surface \[ f(x, y, z) = 0 \] possesses two or more integrals of the first kind. Let us therefore consider two of these integrals.

$A$, $B$, $C$ and $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ being the corresponding polynomials, we shall have the two identities \[ \begin{aligned} A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} &= \left( \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} \right) f(x, y, z), \\ A_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + B_{1} \frac{\partial f}{\partial y} + C_{1} \frac{\partial f}{\partial z} &= \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z} \right) f(x, y, z). \end{aligned} \]

Let us suppose that the two integrals \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \quad \text{and} \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] are not functions of one another, that is to say that one does not have for all the points of the surface \[ BA_{1} - AB_{1} = 0, \]

This understood, we have for every point of the surface \[ \begin{aligned} A f'_{x} + B f'_{y} + C f'_{z} &= 0, \\ A_{1} f'_{x} + B_{1} f'_{y} + C_{1} f'_{z} &= 0. \end{aligned} \]

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or \[ \frac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{f'_{x}} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{f'_{y}}. \tag{1} \]

The quotient $\dfrac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}}$ remains finite for every point $(x, y, z)$ of the surface situated at a finite distance. According to the preceding equalities, this is evident for the simple points of the surface; it is likewise so for the points of the multiple lines, for every multiple line of order $p$ of the proposed surface is a multiple line of order $2p - 2$ of the surfaces \[ AB_{1} - A_{1}B = 0, \quad BC_{1} - CB_{1} = 0, \quad CA_{1} - AC_{1} = 0. \]

Let us finally make $(x, y, z)$ coincide with an isolated multiple point $P$ of order $p$. If the surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \quad \text{and} \quad A_{1} = 0, \quad B_{1} = 0, \quad C_{1} = 0 \] have the point $P$ as a multiple point of order $p - 2$, one sees, according to the forms of the polynomials $A$, $B$, $C$ (preceding number), that the surfaces \[ AB_{1} - A_{1}B = 0, \quad BC_{1} - CB_{1} = 0, \quad CA_{1} - AC_{1} = 0 \] have the point $P$ as a multiple point of order $(2p - 3)$, and in all the other cases the degree of multiplicity will attain at least this value; one sees then, according to the equalities (1), that each of the expressions (1) vanishes at the point $P$.

From the fact that each of the ratios (1) remains finite for every point $(x, y, z)$ of the surface situated at a finite distance, one concludes that \[ \begin{aligned} AB_{1} - A_{1}B &= f'_{z} Q(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= f'_{x} Q(x, y, z), \\ CA_{1} - AC_{1} &= f'_{y} Q(x, y, z), \end{aligned} \tag{2} \] $Q(x, y, z)$ being a polynomial in $x$, $y$, $z$. The degree of this polynomial will moreover be $(m - 4)$ ($m$ being the degree of the surface $f$); one sees in fact, on referring to the forms of $A$, $B$, $C$, that the polynomials figuring

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in the first members of the preceding relations are of degree $2m - 5$.

One could arrive at the relations (2) by another route. The surface \[ AB_{1} - A_{1}B = 0 \] will pass through the intersection of the two surfaces \[ f(x, y, z) = 0, \quad f'_{z}(x, y, z) = 0; \] now, if a surface \[ F(x, y, z) = 0 \] passes through the intersection of two surfaces \[ \varphi(x, y, z) = 0, \quad \psi(x, y, z) = 0, \] and if every curve of intersection of these two latter surfaces, which is for the first a multiple line of order $i$ and for the second of order $k$, is a multiple line of order $i + k - 1$ for the surface $F$, one will have the identity \[ F = Q\varphi + R\psi, \] $Q$ and $R$ being polynomials. This important proposition is due to M. Nöther (Math. Annalen, t. VI). On applying it to the present example, one is led to the identity \[ AB_{1} - A_{1}B = Qf'_{z} + Rf, \] and one has, consequently, the relations (2) for the points of the surface $f$.

The surface of order $(m - 4)$ \[ Q(x, y, z) = 0 \] is extremely interesting, for it is a surface adjoint to the proposed surface; this surface, according to the definition of the polynomial $Q$, will in fact have as a multiple curve of order $p - 1$ a multiple curve of order $p$ of the surface $f$, and it will have as a multiple point of order at least equal to $(p - 2)$ every isolated multiple point of order $p$ of this same surface.

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The adjoint polynomial $Q$ is therefore such that the double integral \[ \int^{x} \int^{y} \frac{Q(x, y, z)\,dx\,dy}{f'_{z}} \] remains finite for every value of $x$ and $y$.

In the case where the surface has an isolated double point $(p = 2)$, the preceding surface $Q$ passes through this double point; for the surfaces \[ A = 0, \quad B = 0, \quad C = 0 \quad \text{and} \quad A_{1} = 0, \quad B_{1} = 0, \quad C_{1} = 0 \] pass through this double point. The adjoint surface of order $(m - 4)$ \[ Q(x, y, z) = 0 \] therefore presents, in this case, a peculiarity which does not in general belong to adjoint surfaces, for these latter are not constrained to pass through the isolated double points.

4. We are now going to consider some particular examples. The surfaces of the second degree being unicursal, there will evidently be among them no surface possessing integrals of the first kind. The same remark applies to the surfaces of the third degree, which are all unicursal; there is only one exception, for the cones of the third degree, which are not unicursal surfaces and which possess an integral of a total differential of the first kind; for let \[ f(x, y, z) = 0 \] be the equation of a cone of the third degree having the origin for vertex; the integral \[ \int \frac{x\,dy - y\,dx}{f'_{z}(x, y, z)} \] will be of the first kind.

Let us pass to the surfaces of the fourth degree. Such a surface may possess an integral of the first kind, but we are going immediately to establish that it cannot have two integrals which are not functions of one another.

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In fact, we should have here, according to what we have seen (no. 3 of this Chapter), \[ \begin{aligned} AB_{1} - A_{1}B - Qf'_{z} &= 0, \\ BC_{1} - CB_{1} - Qf'_{x} &= 0, \\ CA_{1} - AC_{1} - Qf'_{y} &= 0. \end{aligned} \] $Q$, which is in general of order $(m - 4)$, will here be a constant; these relations are, in general, satisfied only for the points of the surface $f$; but, in the present case, they will be identities, since the first member of each of them is a polynomial of degree less than four. Moreover the constant $Q$ will be different from zero, since the two integrals are not functions of one another. We have therefore the identity \[ Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} = 0; \] consequently, one has this other identity \[ \frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z} = 0. \]

Let us now refer to the conditions put under homogeneous form for the surface to have an integral of the first kind (no. 8, First Part); one has \[ \theta_{1}\frac{\partial f}{\partial x} + \theta_{2}\frac{\partial f}{\partial y} + \theta_{3}\frac{\partial f}{\partial z} + \theta_{4}\frac{\partial f}{\partial t} = 0, \] and $\theta_{4}$ has for expression \[ \theta_{4} = -\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right): \] one will consequently have $\theta_{4} = 0$; but $\theta_{4}$ is any one whatever of the polynomials $\theta$, and we thus arrive at this absurd conclusion, that \[ \theta_{1} = \theta_{2} = \theta_{3} = \theta_{4} = 0. \]

The hypothesis made, that there were two integrals of the first kind which were not functions of one another, was therefore inadmissible.

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5. The same theorem subsists for the surfaces of the fifth degree. Let there be a surface which should have two distinct integrals of the first kind; one would have \[ \begin{aligned} Af'_{x} + Bf'_{y} + Cf'_{z} &= \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) f(x, y, z), \\ A_{1}f'_{x} + B_{1}f'_{y} + C_{1}f'_{z} &= \left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) f(x, y, z), \end{aligned} \tag{1} \] and the forms of the $A$, $B$, $C$ will here be \[ \begin{aligned} A &= x\varphi(x, y, z) + L(x, y, z), &\quad A_{1} &= x\varphi_{1}(x, y, z) + L_{1}(x, y, z), \\ B &= y\varphi(x, y, z) + M(x, y, z), &\quad B_{1} &= y\varphi_{1}(x, y, z) + M_{1}(x, y, z), \\ C &= z\varphi(x, y, z) + N(x, y, z), &\quad C_{1} &= z\varphi_{1}(x, y, z) + N_{1}(x, y, z). \end{aligned} \] the $\varphi$ being a homogeneous polynomial of the second degree, and the $L$, $M$, $N$ polynomials of the same degree

According to what has been said in no. 3, one will necessarily have \[ \begin{aligned} AB_{1} - BA_{1} &= Qf'_{z} + \nu f(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= Qf'_{x} + \lambda f(x, y, z), \\ CA_{1} - AC_{1} &= Qf' + \mu f(x, y, z), \end{aligned} \tag{2} \] $Q$ being here a polynomial of the first degree, and $\lambda$, $\mu$, $\nu$ being three constants. From the three preceding identities one concludes, taking account of equations (1), \[ \begin{aligned} Q\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) + \lambda A + \mu B + \nu C &= 0, \\ Q\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) + \lambda A_{1} + \mu B_{1} + \nu C_{1} &= 0. \end{aligned} \tag{3} \]

The constants $\lambda$, $\mu$, $\nu$ are connected very simply to the polynomial $Q$. Let us suppose, in fact, that the polynomials $\varphi$ and $\varphi_{1}$ are not both identically zero. Let $\varphi = 0$. In the first of equations (4), the terms of highest degree will be, on setting \[ \begin{aligned} &Q = lx + my + nz + p, \\ &5(lx + my + nz)\varphi + (\lambda x + \mu y + \nu z); \end{aligned} \]

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one concludes from it that \[ \lambda = -5\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \mu = -5\frac{\partial Q}{\partial y}, \quad \nu = -5\frac{\partial Q}{\partial z}. \]

The same conclusion subsists if $\varphi$ and $\varphi_{1}$ are identically zero. Let us consider in fact, in this case, the relations (2); the first members are of the fourth degree; one will therefore have, denoting by $\psi(x, y, z)$ the homogeneous terms of the fifth degree in $f$, \[ \begin{aligned} (lx + my + nz)\psi'_{z} + \nu\psi &= 0, \\ (lx + my + nz)\psi'_{x} + \lambda\psi &= 0, \\ (lx + my + nz)\psi'_{y} + \mu\psi &= 0; \end{aligned} \] whence one deduces \[ \frac{\psi'_{z}}{\nu} = \frac{\psi'_{x}}{\lambda} = \frac{\psi'_{y}}{\mu} = -\frac{\psi}{lx + my + nz}; \] hence \[ 5(lx + my + nz) = -(\lambda x + \mu y + \nu z), \] and the preceding conclusion subsists.

This laid down, one may, by making a change of axes, suppose that the polynomial of the first degree $Q$ reduces to $z$; the equations will be simplified. Let us write the equations (2) \[ \begin{aligned} AB_{1} - BA_{1} &= zf'_{z} - 5f(x, y, z), \\ BC_{1} - CB_{1} &= zf'_{x}. \\ CA_{1} - AC_{1} &= zf'_{y}, \end{aligned} \tag{4} \] and the equations (3) become \[ \begin{aligned} z\left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) - 5C &= 0. \\ z\left(\frac{\partial A_{1}}{\partial x} + \frac{\partial B_{1}}{\partial y} + \frac{\partial C_{1}}{\partial z}\right) - 5C_{1} &= 0. \end{aligned} \]

We have for $A$, $B$, $C$ and $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ the expressions indicated above.

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On introducing them, the two last equations become \[ \begin{aligned} z\left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y} + \frac{\partial N}{\partial z}\right) - 5N &= 0, \\ z\left(\frac{\partial L_{1}}{dx} + \frac{\partial M_{1}}{\partial y} + \frac{\partial N_{1}}{\partial z}\right) - 5N_{1} &= 0. \end{aligned} \]

If therefore we set \[ \begin{aligned} L &= a_{0}z^{2} + a_{1}z + a_{2}, \\ M &= b_{0}z^{2} + b_{1}z + b_{2}, \end{aligned} \] where the $a$ and $b$ are polynomials in $x$ and $y$, of degree marked by the index, one will have \[ N = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial a_{1}}{\partial x} + \frac{\partial b_{1}}{\partial y}\right)z^{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b_{2}}{\partial y}\right)z, \] and, likewise, on setting \[ \begin{aligned} L_{1} &= a'_{0}z^{2} + a'_{1}z + a'_{2}, \\ M_{1} &= b'_{0}z^{2} + b'_{1}z + b'_{2}, \end{aligned} \] there will come \[ N_{1} = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial a'_{1}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{1}}{\partial y}\right)z^{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a'_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{2}}{\partial y}\right)z; \] and let there be besides \[ \begin{aligned} \varphi(x, y, z) &= c_{0}z^{2} + c_{1}z + c_{2}, \\ \varphi_{1}(x, y, z) &= c'_{0}z^{2} + c'_{1}z + c'_{2}, \end{aligned} \] where the $c$ are homogeneous polynomials in $x$, $y$, $z$ of degree marked by the index.

This laid down, the first of equations (4) gives \[ \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{f}{z^{5}}\right) = \frac{AB_{1} - A_{1}B}{z^{6}}. \]

We are going to draw from this last equation the value of $f$, to within a term of the form $Cz^{5}$, where $C$ will be a constant, for it cannot be a function of $x$ and $y$, $f$ having to be a polynomial of the fifth degree in $x$, $y$ and $z$.

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$f$ being thus determined, one must have, according to equations (4), \[ f'_{x} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{z}, \quad f'_{y} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{z}. \]

6. This laid down, the surface, being necessarily of genus one, must necessarily have a double curve of degree at least equal to two, and one may evidently suppose that this double curve is the conic represented by the equations \[ z = 0, \quad x^{2} + y^{2} + 1 = 0, \] for one recalls that every multiple line belongs to the surface $Q = 0$.

Moreover the surfaces \[ A = 0, \quad A_{1} = 0, \quad B = 0, \quad B_{1} = 0 \] must pass through this conic; hence the polynomials \[ c_{2}x + a_{2}, \quad c_{2}y + b_{2}, \quad c'_{2}x + a'_{2}, \quad c'_{2}y + b'_{2} \] must be divisible by $x^{2} + y^{2} + 1$. Let therefore \[ \begin{aligned} c_{2}x + a_{2} &= (\alpha x + \beta)(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c_{2}y + b_{2} &= (\alpha y + \gamma)(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c'_{2}x + a'_{2} &= (\alpha'x + \beta')(x^{2} + y^{2} + 1), \\ c'_{2}y + b'_{2} &= (\alpha'y + \gamma')(x^{2} + y^{2} + 1), \end{aligned} \tag{5} \] the $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ being constants; one may draw from them $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ and $a'_{2}$, $b'_{2}$, $c_{2}$.

In $f(x, y, z)$, the term independent of $z$ will be \[ -\frac{1}{5}[(c_{2}x + a_{2})(c'_{2}y + b'_{2}) - (c_{2}y + b_{2})(c'_{2}x + a'_{2})] \] or \[ -\frac{1}{5}(x^{2} + y^{2} + 1)^{2}[x(\alpha\gamma' - \alpha'\gamma) + y(\beta\alpha' - \beta'\alpha) + \beta\gamma' - \beta'\gamma]. \tag{6} \]

Let us seek, on the other hand, the term independent of $z$ in $\dfrac{BC_{1} - CB_{1}}{z}$;

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it will be \[ (c_{2}y + b_{2})\left[c'_{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a'_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b'_{2}}{\partial y}\right)\right] - (c'_{2}y + b'_{2})\left[c_{2} + \frac{1}{4}\left(\frac{\partial a_{2}}{\partial x} + \frac{\partial b_{2}}{\partial y}\right)\right], \] or, on replacing the $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$ by their value drawn from the identities (5), \[ \begin{aligned} &(x^{2} + y^{2} + 1)[x^{2}(\alpha'\gamma - \alpha\gamma') + \frac{1}{2}y^{2}(\alpha'\gamma - \alpha\gamma') \\ &\qquad + \frac{1}{2}(\alpha\beta' - \alpha'\beta)xy + \frac{1}{2}(\beta'\gamma - \gamma'\beta)x + \frac{1}{2}(\gamma\alpha' - \gamma'\alpha)]. \end{aligned} \tag{7} \]

The expression (7) must be the derivative with respect to $x$ of the expression (6); now that is possible only if \[ \alpha'\gamma - \alpha\gamma' = \alpha\beta' - \alpha'\beta = \beta'\gamma - \gamma'\beta = 0; \] under these conditions, the expression (6) is zero, and it results from this that $f(x, y, z)$ would be divisible by $z$; the surface would decompose, which shows the impossibility of the existence of two distinct integrals of the first kind for a surface of the fifth degree.

THIRD PART.

We are going to occupy ourselves, in this Chapter, with a particular class of surfaces; let us suppose that the coordinates of an arbitrary point $x$, $y$, $z$ of the surface \[ f(x, y, z) = 0 \tag{1} \] are expressed by single-valued functions of two parameters $u$ and $v$ \[ x = F(u, v), \quad y = F_{1}(u, v), \quad z = F_{2}(u, v), \] these functions having four pairs of simultaneous periods. Let us suppose moreover that to an arbitrary point $(x, y, z)$ of the surface there correspond only a single system of values of $u$ and $v$, leaving aside multiples of the periods; in this case, the surface (1) will possess two integrals of the first kind and two only. One proves it immediately in the following manner :

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We have \[ \begin{aligned} dx &= \frac{\partial F}{\partial u}\,du + \frac{\partial F}{\partial v}\,dv, \\ dy &= \frac{\partial F_{1}}{\partial u}\,du + \frac{\partial F_{1}}{\partial v}\,dv. \end{aligned} \]

Now the coefficients of $du$ and $dv$ are quadruply periodic functions of $u$ and $v$; they can therefore be expressed rationally in $x$, $y$, $z$, under the hypothesis made that to an arbitrary point $(x, y, z)$ there corresponds only a single system of values $(u, v)$; on solving the two preceding equations with respect to $du$ and $dv$, we shall therefore have \[ \begin{aligned} du &= P\,dx + Q\,dy, \\ dv &= P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy, \end{aligned} \] the $P$ and $Q$ being rational functions of $(x, y, z)$. The two integrals \[ \int P\,dx + Q\,dy \quad \text{and} \quad \int P_{1}\,dx + Q_{1}\,dy \] are evidently integrals of algebraic total differentials, and they are of the first kind, since to every point $(x, y, z)$ there must necessarily correspond finite values of $u$ and $v$. These two integrals are distinct and linearly independent.

In the second place, there exists no integral of the first kind linearly independent of the two preceding ones. Let there be, in fact, as above, \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] a third integral of the first kind; let us consider the expressions \[ \varphi = \frac{B \frac{\partial x}{\partial u} - A \frac{\partial y}{\partial u}}{f'_{z}} \quad \text{and} \quad \psi = \frac{B \frac{\partial x}{\partial v} - A \frac{\partial y}{\partial v}}{f'_{z}}; \] these expressions must remain finite for every value of $u$ and $v$, otherwise the preceding integral, which may be written $\displaystyle\int \varphi\,du + \psi\,dv$, would not always remain finite. The quadruply periodic functions $\varphi$ and $\psi$, remaining

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always finite, reduce consequently to constants. One may therefore write \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} = \alpha\,du + \beta\,dv, \] $\alpha$ and $\beta$ being two constants, which proves the theorem.

2. Among the surfaces of the fourth degree, there is one very remarkable, whose coordinates are expressed by single-valued quadruply periodic functions of two parameters : it is Kummer's surface; but the preceding theorem cannot be applied to it, for, if we call $u$ and $v$ the two parameters, to an arbitrary point of the surface there correspond two distinct systems of values $(u, v)$. To verify this assertion, let us rely on an elegant theorem, proved by M. Darboux (Comptes rendus, 27 June 1881). M. Darboux establishes that one can always make a Kummer surface correspond point by point to a surface having an equation of the form \[ z^{2} = f(x, y), \tag{1} \] $f$ being a polynomial of the sixth degree in $x$, $y$, and the curve \[ f(x, y) = 0 \tag{2} \] being composed of six straight lines tangent to one and the same conic.

One can always, by a preliminary transformation, arrange that this conic have for equation \[ x^{2} - y = 0. \tag{K} \] Let us now set \[ \begin{aligned} x &= \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \\ y &= x_{1}x_{2}. \end{aligned} \]

For an arbitrary fixed value given to $x_{1}$, these two equations define a straight line tangent to the conic $(K)$. Let us suppose that the six

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straight lines given by equation (2) correspond to \[ x_{1} = a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}. \] Let now \[ \begin{aligned} y_{1}^{2} &= (x_{1} - a_{1})(x_{1} - a_{2})\ldots(x_{1} - a_{6}), \\ y_{2}^{2} &= (x_{2} - a_{1})(x_{2} - a_{2})\ldots(x_{2} - a_{6}); \end{aligned} \] the product $y_{1}^{2}y_{2}^{2}$, which is a symmetric function of $x_{1}$ and $x_{2}$, is a polynomial of the sixth degree in $x$ and $y$; it vanishes for \[ x_{1} = a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}; \] whatever $x_{2}$ may be, it therefore differs from the polynomial $f(x, y)$ only by a constant factor which one may well suppose to be unity.

Consequently, we satisfy equation (1) by setting \[ \begin{aligned} x &= \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \\ y &= x_{1}x_{2}, \\ z &= y_{1}y_{2}, \end{aligned} \] where \[ y_{1} = \sqrt{(x_{1} - a_{1})\ldots(x_{1} - a_{6})}, \quad y_{2} = \sqrt{(x_{2} - a_{1})\ldots(x_{2} - a_{6})}. \]

If we now consider the abelian equations \[ \begin{aligned} \int^{x_{1}} \frac{dx_{1}}{y_{1}} + \int^{x_{2}} \frac{dx_{2}}{y_{2}} &= u, \\ \int^{x_{1}} \frac{x_{1}\,dx_{1}}{y_{1}} + \int^{x_{2}} \frac{x_{2}\,dx_{2}}{y_{2}} &= v, \end{aligned} \] these equations give us for $x_{1} + x_{2}$, $x_{1}x_{2}$ and $y_{1}y_{2}$ abelian functions of $u$ and $v$. The three coordinates $x$, $y$, $z$ are therefore expressed by abelian functions of two parameters.

Suppose now that an arbitrary point $(x, y, z)$ of the surface is given; one will then have a system of values $(x_{1}, x_{2})$ and the product $y_{1}y_{2}$. One will therefore have for $y_{1}$ and $y_{2}$ two systems of values, namely \[ y_{1}, y_{2} \quad \text{and} \quad -y_{1}, -y_{2}; \]

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one sees that then to a point $(x, y, z)$ of the surface there correspond two systems of values $(u, v)$.

3. Let us now return to the surfaces whose coordinates are expressed by single-valued quadruply periodic functions of two parameters, and let us propose to ourselves the following question : The irreducible equation \[ f(x, y, z) = 0, \] being given, can one express $x$, $y$, $z$ by quadruply periodic functions of two parameters, with this condition, that to an arbitrary point of the surface there correspond only a single system of values of the two parameters?

We suppose, as in the first Chapter, that the surface has only ordinary singularities (no. 1, Chap. II); we even confine ourselves, for brevity, to the case where the surface should have only double points and double curves; moreover, it is understood that one has begun by making on the variables the most general homographic substitution.

There must first of all exist two linearly independent integrals of the first kind, and two only : that is a first point which one will have to verify, proceeding as has been indicated in the first Chapter. Let us suppose then that these two integrals are obtained, and let us designate them by \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] They must, moreover, not be functions of one another, that is to say that $BA_{1} - AB_{1}$ is not identically zero.

Let us now consider the differential equations \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv; \end{aligned} \tag{1} \] these equations must give for $x$ and $y$ single-valued functions of

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$u$ and $v$ : this is what one sees easily according to what has been said above, since, in the case where $x, y, z$ can be expressed by quadruply periodic functions of $u$ and $v$, one has (no. 1, Part. II) \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} = \alpha\,du + \beta\,dv \] and likewise \[ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} = \alpha_{1}\,du + \beta_{1}\,dv, \] the $\alpha$ and $\beta$ being constants. If therefore we replace $\alpha u + \beta v$ and $\alpha_{1} u + \beta_{1} v$ by $u$ and $v$, we have the system of equations (1).

We must therefore seek whether this system of equations in total differentials admits as integrals single-valued functions of the two independent variables $u$ and $v$.

Let us first dwell a moment on the genus of the proposed surface \[ f(x, y, z) = 0. \]

If the coordinates of any one of its points are expressed by quadruply periodic functions of two parameters and in the manner indicated, the genus of this surface must be equal to unity. One proves it at once by remarking that the double integral \[ \int \int du\,dv \] is of the form \[ \int \int \varphi(x, y, z)\,dx\,dy, \] $\varphi$ being a rational function of $x, y, z$. There is therefore an integral of this form which remains finite for every value of $x$ and $y$; one knows, moreover, that $\varphi$ will necessarily be of the form \[ \varphi(x, y, z) = \frac{Q(x, y, z)}{f'_{z}}, \] $Q$ denoting a polynomial of order $m - 4$. Moreover, the expression \[ \frac{Q(x, y, z)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}\right)}{f'_{z}}, \]

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being a quadruply periodic function which remains finite for every value of $u$ and $v$, reduces to a constant; let us designate this constant by $a$. Let us finally recall that the surface \[ Q(x, y, z) = 0 \] passes through the double curve of the surface.

4. These preliminaries laid down, let us take up again the two equations \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] and let us draw from these equations the values of $\dfrac{\partial x}{\partial u}$, $\dfrac{\partial x}{\partial v}$, $\dfrac{\partial y}{\partial u}$, $\dfrac{\partial y}{\partial v}$, in order to form $\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}$; one obtains at once \[ \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{(f'_{z})^{2}}{BA_{1} - AB_{1}}. \]

If we bring this expression together with the relation \[ \frac{Q(x, y, z)\left(\dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} - \dfrac{\partial x}{\partial v} \dfrac{\partial y}{\partial u}\right)}{f'_{z}} = a, \] we have \[ \frac{BA_{1} - AB_{1}}{f'_{z}} = -\frac{1}{a} Q(x, y, z), \tag{1} \] a relation which will, moreover, be an identity only in virtue of the equation of the surface. We have seen, on the other hand (no. 5, Chap. II), that \[ \frac{BA_{1} - AB_{1}}{f'_{z}} = \frac{BC_{1} - CB_{1}}{f'_{x}} = \frac{CA_{1} - AC_{1}}{f'_{y}} = R(x, y, z), \tag{2} \] $R(x, y, z)$ being a polynomial of order $(m - 4)$. From the relations (1) and (2),

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one concludes \[ R(x, y, z) = -\frac{1}{a} Q(x, y, z), \] and this equality holds for every value of $x, y$ and $z$.

From the three values which one may give to $R$, it results that the surface $R = 0$ passes through the isolated double points; in fact, we have seen (Chap. I, no. 5) that \[ \frac{B}{f'_{z}} \quad \text{and} \quad \frac{A}{f'_{z}} \] tend toward a finite limit when $(x, y, z)$ approaches an isolated double point $(a, b, c)$, at least when $\dfrac{y - b}{x - a}$ does not tend toward two certain particular values. One has, consequently, $R(a, b, c) = 0$, since $A_{1}$ and $B_{1}$ vanish for the coordinates of the double point.

5. We have now to study the two equations in total differentials \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] and to seek under what conditions they will give for $x$ and $y$ single-valued functions of $u$ and $v$. One may write the two preceding equations under the form \[ \begin{aligned} dx &= \frac{-A_{1}\,du + A\,dv}{R(x, y, z)}, \\ dy &= \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R(x, y, z)}. \end{aligned} \]

At every point of the surface situated at a finite distance, and for which $R(x, y, z)$ is different from zero, each of the multipliers of $du$ and $dv$ has a perfectly determinate finite value.

We must seek the values for which the functions $x$ and $y$, defined by the two preceding equations in total differentials, could cease to be single-valued functions of $u$ and $v$. One knows, according to a general proposition due to M. Bouquet (Bulletin des

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Sciences mathématiques, t. III), that $x$ and $y$ will not cease to be holomorphic functions of $u$ and $v$ so long as the coefficients of $du$ and $dv$ are holomorphic functions of $x$ and $y$.

The points common to the proposed surface and to the surface \[ R(x, y, z) = 0 \] will play an important role in the discussion which is going to follow, since, for these points, the common denominator of $dx$ and $dy$ will vanish. The intersection of these two surfaces will be composed first of the double curves of the surface $f$, and there may be, besides, one or more other curves of intersection; let us designate by $\Gamma$ these complementary curves.

Let us consider, for the moment, only the points of the surface situated at a finite distance, and let us take first the simple points outside the curves $\Gamma$. If, for such a point $(x, y, z)$, one does not have $f'_{z} = 0$, it is clear that \[ \frac{A}{R}, \quad \frac{A_{1}}{R}, \quad \frac{B}{R}, \quad \frac{B_{1}}{R} \] will be holomorphic functions of $x$ and $y$ in the neighbourhood of this point. It is no longer so if $f'_{z} = 0$, but the difficulty is only apparent. The point being simple, $f'_{x}$ and $f'_{y}$ will not be zero simultaneously; let $f'_{x} \neq 0$.

From the equations \[ dx = \frac{-A_{1}\,du + A\,dv}{R(x, y, z)}, \quad dy = \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R(x, y, z)}, \] with which I associate \[ f'_{x}\,dx + f'_{y}\,dy + f'_{z}\,dz = 0, \] one draws \[ \begin{aligned} dy &= \frac{-B_{1}\,du + B\,dv}{R}, \\ dz &= \frac{-C_{1}\,du + C\,dv}{R}, \end{aligned} \] the polynomials $C$ and $C_{1}$ being those which have been considered (Chap. I. no. 2).

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$x$ being here a holomorphic function of $y$ and $z$, since $f'_{x} \neq 0$, we conclude from the two last equations that $y$ and $z$ are holomorphic functions of $u$ and $v$, and, consequently, it is the same for $x$, according to the equation \[ dx = -\frac{f'_{y}}{f'_{x}}\,dy - \frac{f'_{z}}{f'_{x}}\,dz. \]

Hence, so long as the point $(x, y, z)$, remaining at a finite distance, does not come upon the surface \[ R(x, y, z) = 0, \] $x$ and $y$ do not cease to be holomorphic functions of $u$ and $v$.

6. We shall still have no difficulty when $(x, y, z)$, always remaining at a finite distance, approaches a point $A$ of the double curve which does not belong to the complementary curves $\Gamma$. According to this hypothesis, the surface $R$ will not be tangent at $A$ to either of the two sheets of the surface passing through this point.

If the sheet of the surface on which the point $(x, y, z)$ approaches $A$ does not have its tangent plane at this point parallel to the axis of $z$, which one may always suppose according to the preceding number, the coefficients of $du$ and $dv$ will be holomorphic functions of $x$ and $y$, and, consequently, $x$ and $y$ will be holomorphic functions of $u$ and $v$ in the neighbourhood of the corresponding values of these variables.

7. We have now to consider the case where $(x, y, z)$ should approach a complementary curve $\Gamma$. Let $M$ be an arbitrary point of such a curve; according to the equations \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] one sees that the ratio $\dfrac{du}{dv}$ is independent of $\dfrac{dy}{dx}$ when $(x, y, z)$ approaches $M$, for one has, at the point $M$, \[ AB_{1} - A_{1}B = 0. \]

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Hence the values $u_{0}$ $v_{0}$ of the integrals $u$ and $v$ corresponding to the point $M$ do not give an ordinary point for the functions $x$ and $y$; this is not doubtful, since $x$ and $y$ will be able to tend toward $x_{0}$ and $y_{0}$ only if the limit of the ratio $\dfrac{u - u_{0}}{v - v_{0}}$ has a determinate value.

If therefore the preceding equations are satisfied by single-valued analytic functions of $u$ and $v$, the point $(u_{0}, v_{0})$ will be for these functions a point of indetermination. But, when $M$ moves on the curve $\Gamma$, the system of values $(u_{0}, v_{0})$ cannot vary in a continuous manner, for a single-valued function of two independent variables, which presents for every finite system of values of the variables the character of a rational function, cannot have a succession of points of indetermination following one another in a continuous manner. Consequently, $u$ and $v$ keep a constant value when $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ moves on the curve $\Gamma$. We have then, for this curve, \[ B\,dx - A\,dy = 0, \quad B_{1}\,dx - A_{1}\,dy = 0, \] and, since \[ A \frac{\partial f}{\partial x} + B \frac{\partial f}{\partial y} + C \frac{\partial f}{\partial z} = 0, \] at the same time as \[ \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy + \frac{\partial f}{\partial z}\,dz = 0, \] one concludes from it \[ \frac{dx}{A} = \frac{dy}{B} = \frac{dz}{C} \] and similarly \[ \frac{dx}{A_{1}} = \frac{dy}{B_{1}} = \frac{dz}{C_{1}} \]

The curve $\Gamma$ being a curve of intersection of the proposed surface and of the surface \[ R(x, y, z) = 0, \] one will have, according to what precedes, at all the points of this curve, \[ A \frac{\partial R}{\partial x} + B \frac{\partial R}{\partial y} + C \frac{\partial R}{\partial z} = 0, \] this relation must be verified at all the points of the complementary curves

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of intersection. This laid down, let us consider one of these curves $\Gamma$; let $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ be a simple point of this curve which is at the same time a simple point of the surface, and let $f'_{z}$ be different from zero, which it is quite permissible to suppose. We shall have \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0}; \end{aligned} \] let us make $(x, y, z)$ tend toward $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. One may write \[ \begin{aligned} &\frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \\ &\qquad = [\beta + P(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dx + [\alpha + Q(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dy, \\ &\frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \\ &\qquad = [\beta_{1} + P_{1}(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dx + [\alpha_{1} + Q_{1}(x - x_{0}, y - y_{0})]\,dy, \end{aligned} \] the $P$ and $Q$ being series ordered according to the increasing powers of $x - x_{0}$ and $y - y_{0}$, which contain no constant term, and, since \[ BA_{1} - AB_{1} = 0 \quad \text{for} \quad x_{0}, y_{0}, z_{0}, \] one will have \[ \beta\alpha_{1} - \alpha\beta_{1} = 0. \]

We shall finally be able to write, after integration, \[ \begin{aligned} \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots &= u - u_{0}, \\ \beta_{1}(x - x_{0}) + \alpha_{1}(y - y_{0}) + \ldots &= v - v_{0}. \end{aligned} \tag{I} \]

The point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ being a simple point of the curve $\Gamma$, $A$, $B$, $C$ and $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ do not vanish simultaneously at this point; for, if it were so, the equality \[ R(x, y, z) = \frac{AB_{1} - A_{1}B}{f'_{z}} \]

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would show that $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ is a double point of the surface $R$, and, consequently, a double point of $\Gamma$. One may therefore suppose that $\alpha$, $\beta$, $\alpha_{1}$ and $\beta_{1}$ are not zero simultaneously; let $\beta \neq 0$.

Let us return to the equations (I); they show that the ratio $\dfrac{v - v_{0}}{u - u_{0}}$ tends toward a limit independent of the ratio $\dfrac{y - y_{0}}{x - x_{0}}$.

Let us set \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= t\lambda(t), \\ v - v_{0} &= t\lambda_{1}(t), \end{aligned} \] $\lambda$ and $\lambda_{1}$ being two holomorphic functions of $t$ in the neighbourhood of $t = 0$; they are, moreover, solely constrained to satisfy the relation \[ \beta_{1}\lambda(0) - \beta\lambda_{1}(0) = 0. \]

Let us substitute these values of $u$ and $v$ in the equations (I). One will have \[ \begin{aligned} \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots &= t\lambda(t), \\ \beta_{1}(x - x_{0}) + \alpha_{1}(y - y_{0}) + \ldots &= t\lambda_{1}(t). \end{aligned} \tag{II} \]

If one makes, in these equations, $t = 0$, one has two equations which will be satisfied by one and the same development of $x - x_{0}$ in a series ordered according to the increasing powers of $y - y_{0}$; it is the development which gives the curve $\Gamma$, or rather its projection on the plane of the $xy$; this results from the fact that $u$ and $v$ keep the constant values $u_{0}$ and $v_{0}$ when $(x, y, z)$ moves on the curve $\Gamma$.

This remark made, let us return to the equations (II). We shall draw from the first $x - x_{0}$ as a function of $t$ and of $y - y_{0}$, and we shall substitute this value of $x - x_{0}$ in the second equation. The relation thus obtained must be verified for $t = 0$, whatever $y$ may be, according to what has just been said; all the terms will therefore contain $t$ as a factor. This factor removed, there will remain a term of the first degree in $y - y_{0}$, and we shall thus have the development of $y - y_{0}$ according to the increasing powers of $t$, a development which will contain no term independent of $t$. We have thus $x - x_{0}$ and $y - y_{0}$ represented by series ordered according to the increasing powers of $t$. It matters to make sure

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whether there is indeed, as we have just said, a term of the first degree in $y - y_{0}$. We are going to establish that, if, as has been supposed, the point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ is a simple point of the curve $\Gamma$, there always remains a term of the first degree in the preceding equation. To prove it, let us substitute for the equations (II) the two following equations \[ \begin{aligned} &\beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}) + \ldots = t\lambda(t), \\ &m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2} + \ldots \\ &\qquad = t[\beta_{1}\lambda(t) - \beta\lambda_{1}(t)], \end{aligned} \] which amounts to supposing that $\beta_{1} = \alpha_{1} = 0$, that is to say that the surfaces \[ B_{1} = 0, \quad A_{1} = 0 \] pass through $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. Now we shall have without difficulty the values of $m$, $n$ and $p$. The development of the integral \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] shows immediately that one has, to within a finite factor different from zero, \[ \begin{aligned} m &= \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}}, \\ n &= \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} = - \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right], \\ p &= - \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right]. \end{aligned} \]

One has, moreover, \[ \beta = B_{0}, \quad \alpha = - A_{0}. \] If, in the final equation, the term of the first degree in $y - y_{0}$ disappears, the trinomial \[ m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2}, \] which necessarily has a root in common with \[ \beta(x - x_{0}) + \alpha(y - y_{0}), \]

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will have this root as a double root; consequently, one will have \[ m\alpha - n\beta = 0, \quad n\alpha - p\beta = 0. \] which gives us \[ \begin{aligned} A_{0} \left[ \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right] - B_{0} \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{x_{0}} \right] &= 0, \\ A_{0} \left[ \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right] - B_{0} \left[ \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0} f'_{z_{0}} - \left( \frac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0} f'_{y_{0}} \right] &= 0, \end{aligned} \] which we shall finally write \[ \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial x} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x} \right)_{0}}{f'_{x_{0}}} = \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial y} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial y} \right)_{0}}{f'_{y_{0}}} = \frac{A_{0} \left( \dfrac{\partial B_{1}}{\partial z} \right)_{0} - B_{0} \left( \dfrac{\partial A_{1}}{\partial z} \right)_{0}}{f'_{z}}; \] whence one would conclude that the surface represented by the equation \[ AB_{1} - BA_{1} = 0, \] that is to say the surface $R = 0$, is tangent at $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ to the proposed surface.

8. Let us now suppose that the surface $R$ is tangent to the surface $f$ at a simple point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ of this surface. The curve $\Gamma$ will have at this point a double point; now the curve $\Gamma$ satisfies the differential equations \[ \frac{dx}{A} = \frac{dy}{B} = \frac{dz}{C}, \] as well as the following : \[ \frac{dx}{A_{1}} = \frac{dy}{B_{1}} = \frac{dz}{C_{1}}. \]

If therefore the six quantities $A$, $B$, $C$, $A_{1}$, $B_{1}$ and $C_{1}$ do not vanish simultaneously at $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, one will have, by one or the other of these equations, a development which will give only a single branch of curve passing through $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$. The conclusion is that one has at $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ \[ A = B = C = A_{1} = B_{1} = C_{1} = 0. \]

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This laid down, the two equations \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0} \end{aligned} \] will become \[ \begin{aligned} m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y_{0})^{2} + \ldots &= u - u_{0}, \\ m_{1}(x - x_{0})^{2} + 2n_{1}(x - x_{0})(y - y_{0}) + p_{1}(y - y_{0})^{2} + \ldots &= v - v_{0}, \end{aligned} \] and one will evidently have \[ \frac{m}{m_{1}} = \frac{n}{n_{1}} = \frac{p}{p_{1}}. \]

We may make a combination of these equations such that the second has no term of the second degree in $x - x_{0}$ and $y - y_{0}$. We may therefore suppose, in order not to multiply the notations, that this condition is precisely fulfilled in the two preceding equations, that is to say that \[ m_{1} = n_{1} = p_{1} = 0. \] Let us therefore write \[ \begin{aligned} &m(x - x_{0})^{2} + 2n(x - x_{0})(y - y_{0}) + p(y - y)^{2} + \ldots = u - u_{0}, \\ &\alpha(x - x_{0})^{3} + 3\beta(x - x_{0})^{2}(y - y) \\ &\qquad + 3\gamma(x - x_{0})(y - y_{0})^{2} + \delta(y - y_{0})^{3} + \ldots = v - v_{0}; \end{aligned} \] since, on making $u = u_{0}$, $v = v_{0}$, the two equations in $x$ and $y$ which one thus obtains will be verified for the two branches of the curve $\Gamma$ which passes through $x_{0}$, $y_{0}$, it is clear that the roots of the polynomial \[ m + 2n\theta + p\theta^{2} \] will be roots of the polynomial \[ \alpha + 3\beta\theta + 3\gamma\theta^{2} + \delta\theta^{3}. \]

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If one now makes, in the preceding equations, \[ u - u_{0} = t^{2}\lambda(t), \quad v - v_{0} = t^{3}\lambda_{1}(t), \] where $\lambda$ and $\lambda_{1}$ are holomorphic functions of $t$ in the neighbourhood of $t = 0$, and moreover arbitrary. To one value of $t$, and consequently of $u - u_{0}$ and $v - v_{0}$, there correspond, by the preceding equations, four systems of values of $x - x_{0}$ and $y - y_{0}$.

One sees that then the equations \[ \begin{aligned} \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= u - u_{0}, \\ \int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= v - v_{0} \end{aligned} \] do not give, for a continuous succession of values of $u$ and $v$ in the neighbourhood of $u_{0}$ and $v_{0}$, a single system of corresponding values of $x$ and $y$. It is therefore impossible that the surface \[ R(x, y, z) = 0 \] be tangent to the surface \[ f(x, y, z) = 0 \] at a simple point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ of this latter.

9. We must now consider the case where $(x, y, z)$ tends toward a double point of the surface through which a curve $\Gamma$ passes. Let us suppose first that a curve $\Gamma$ meets the double curve at a point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$; there will be, in this case, no difficulty, for one will be able to reason, as in the preceding number, by considering simply the sheet of the surface passing through $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ on which the curve $\Gamma$ lies.

Another circumstance remains to be examined; the surface \[ R(x, y, z) = 0 \] passes through the isolated double points of the surface. The complementary curve

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$\Gamma$ will therefore have a double point at an isolated double point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ of the proposed surface, which we are going to suppose to be the origin.

We have seen that at such a point the integral had a perfectly determinate value (First Part, no. 5). Moreover, when the limit of $\dfrac{y}{x}$ is finite and does not annul $M + N\left( \dfrac{y}{x} \right)^{2}$ (see the number cited), which one may always suppose, the terms of the first order in the integral \[ \int_{0, 0, 0}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] reduce to \[ \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P}, \] and similarly for the integral \[ \int_{0, 0, 0}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}, \] the terms of the first degree will be \[ \frac{c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz}{2P}. \] The surface \[ R(x, y, z) = 0 \] will generally have at the origin a simple point, and the curve $\Gamma$ a double point whose two tangents will be distinct. Since the two integrals $u$ and $v$ keep on the curve $\Gamma$ the constant values $u_{0}$ and $v_{0}$, the two expressions \[ \begin{aligned} &c'x - cy - \lambda Pz, \\ &c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz \end{aligned} \] must vanish for one and the other direction corresponding to the tangents to the curve $\Gamma$. The planes obtained by equating these expressions to

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zero therefore coincide. This laid down, let us return to the equations, making $u_{0} = v_{0} = 0$, \[ \begin{aligned} \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P} + \ldots &= u, \\ \frac{c'_{1}x - c_{1}y - \lambda_{1}Pz}{2P} + \ldots &= v. \end{aligned} \]

The discussion of these two equations may be made in the following manner. One remarks first that the two integrals $u$ and $v$ may be written under the form of a series proceeding according to the increasing powers of $x$, $y$ and $z$; we may suppose first that $v$ contains no term of the first degree; it suffices, for that, to make a suitable linear combination of the two preceding equations. Let us therefore write \[ \begin{aligned} \frac{c'x - cy - \lambda Pz}{2P} + \ldots &= u, \\ \varphi_{2}(x, y, z) + \ldots &= v, \end{aligned} \] $\varphi_{2}(x, y, z)$ being a homogeneous polynomial of the second degree in $x$, $y$ and $z$. Let us set \[ u = t\lambda(t), \quad v = t^{2}\lambda_{1}(t), \] $\lambda$ and $\lambda_{1}$ being arbitrary holomorphic functions of $t$ in the neighbourhood of $t = 0$.

From the first equation we may draw $z$ under the form of a series proceeding according to the increasing powers of $x$, $y$ and $t$; let us substitute this value of $z$ in the second equation. There will come \[ P(x, y) + tQ(x, y, t) = t^{2}\lambda_{1}(t), \tag{1} \] $P$ being a series whose first terms are of the second degree in $x$ and $y$. We have, moreover, the relation \[ f(x, y, z) = 0 \] which becomes, by the substitution of the value of $z$, \[ P_{1}(x, y) + tQ_{1}(x, y, t) = 0, \tag{2} \]

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$P_{1}$ beginning, like $P$, with terms of the second degree. The equation \[ P_{1}(x, y) = 0 \] gives the two branches of the curve $\Gamma$ passing through the origin, and it is the same for \[ P(x, y) = 0. \] Consequently, $P$ and $P_{1}$ may be supposed identical, and we have, in place of the equations (1) and (2), \[ Q(x, y, t) - Q_{1}(x, y, t) = t\lambda_{1}(t), \tag{3} \] \[ P_{1}(x, y) + tQ_{1}(x, y, t) = 0. \tag{4} \] Equation (3) will permit one to develop $y$ according to the increasing powers of $x$ and $t$, and one will substitute this development in equation (4). It will happen, consequently, that equation (4), thus transformed, will begin with terms of the second degree in $x$ and $t$; hence, in general, to one value of $t$ there will correspond two values of $x$. The two equations therefore do not give a single-valued inversion : that at least is what will take place in general, and, in each particular case, one will be able to make the complete discussion by following the preceding method.

10. We have supposed, in the numbers which precede, that the point $(x, y, z)$ remained at a finite distance. Let us employ, as in no. 7 of Chapter I, the homogeneous coordinates $(x, y, z, t)$; these four coordinates are not zero at the same time, and let, for example, the point recede to infinity in such a manner that $x$ be different from zero. We shall then set \[ \frac{y}{x} = Y, \quad \frac{z}{x} = Z, \quad \frac{t}{x} = T. \]

We have seen (no. 7, First Part) that the differential \[ \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} \] then takes the form \[ \frac{N\,dY - M\,dT}{f'_{z}(1, Y, Z, T)}, \]

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where $M$ and $N$ are polynomials in $Y$, $Z$, $T$. We shall therefore have the two equations \[ \begin{aligned} \frac{N\,dY - M\,dT}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{N_{1}\,dY - M_{1}\,dT}{f'_{z}} &= dv, \end{aligned} \] entirely similar to those which we have discussed in the preceding numbers.

For the point at infinity which we had to consider with the old variables there is substituted a point $(Y, Z, T)$ at a finite distance, and one may make the discussion as we have shown above.

If one returns to the values of $x$, $y$, $z$ which we made use of before the employment of homogeneous coordinates, one will have \[ x = \frac{1}{T}, \quad y = \frac{Y}{T}, \quad z = \frac{Z}{T}. \]

11. Let us now sum up the results of the discussion which has just been made in the preceding numbers (from no. 5 to no. 10). We shall suppose, according to what we have said (no. 9), that the surface has no isolated double points; on the other hand, the adjoint surface \[ R(x, y, z) = 0 \] of order $(n - 4)$ cuts the surface first along the double curves, and let $\Gamma$ be the complementary curve of intersection. The surface $R$ will be tangent to the given surface $f$ at no point of the curve $\Gamma$ (no. 8), except of course at the points of meeting of the curve $\Gamma$ and the double curve. The curve $\Gamma$ will have no double points. We have considered (no. 7) the case where $(x, y, z)$ approaches a point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ of the curve $\Gamma$; designating by $u_{0}$ and $v_{0}$ the corresponding values of $u$ and $v$, we have seen that the limit $\lambda$ of the ratio \[ \frac{u - u_{0}}{v - v_{0}} \] was equal to \[ \frac{B(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})} \]

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which may also be written \[ \frac{A(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{A_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}; \] moreover, $x - x_{0}$ and $y - y_{0}$ are developable in series ordered according to the increasing powers of $t$, when one has set \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= t\lambda(t), \\ v - v_{0} &= t\lambda_{1}(t) \end{aligned} \] with the condition \[ B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})\lambda(0) - B(x_{0}, y_{0}, z_{0})\lambda_{1}(0) = 0. \]

Let us now suppose that $(x, y, z)$, starting from $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, follows the curve $\Gamma$; the values of $u$ and $v$ will not change; let us admit that at another point $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ one has \[ \frac{B(x_{1}, y_{1}, z_{1})}{B_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})} = \frac{B(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{B_{1}(x_{0}, y_{0}, z_{0})}; \tag{1} \] the equations \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \\ v - v_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \end{aligned} \] will be verified for $u = u_{0}$, $v = v_{0}$ by $x = x_{1}$, $y = y_{1}$. Let us set, as above, \[ u - u_{0} = t\lambda(t), \quad v - v_{0} = t\lambda_{1}(t) \] with the condition \[ B_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})\lambda(0) - B(x_{1}, y_{1}, z_{1})\lambda_{1}(0) = 0; \] we shall be able to take, consequently, on account of the relation (1), for $\lambda$ and $\lambda_{1}$ the same functions as previously, and one sees then that, for one and the same value of $t$, one will have at once for $x$ and $y$ values neighbouring

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on $(x_{1}, y_{1})$ and values of $(x_{0}, y_{0})$; $x$ and $y$ would not be single-valued functions of $u$ and $v$. One concludes from this a theorem very important for the study which occupies us. The two equations \[ B - \mu B_{1} = 0, \quad A - \mu A_{1} = 0, \] where $\mu$ is an arbitrary constant, can be verified only for a single point of a curve $\Gamma$, outside the points of the double curve, of course. The curve $\Gamma$ is therefore unicursal, and the three equations \[ \begin{aligned} B - \mu B_{1} &= 0, \\ A - \mu A_{1} &= 0, \\ f(x, y, z) &= 0 \end{aligned} \] give for $x$, $y$ and $z$ rational functions of $\mu$.

The conditions which we have just found are, moreover, sufficient. Let us consider, in fact, the equations \[ \begin{aligned} u - u_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \\ v - v_{0} &= \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}; \end{aligned} \] we suppose that $(x, y, z)$ arrives at a point $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ of the curve $\Gamma$, $u$ and $v$ tending toward the values $u_{0}$ and $v_{0}$. I say that, to every system of values $(u, v)$ in the neighbourhood of $(u_{0}, v_{0})$, there will correspond. by means of the preceding equations, a perfectly determinate point $(x, y, z)$; let us, in fact, make $(u, v)$ start from $(u_{0}, v_{0})$, and let us indicate the law of this displacement by the formulas \[ u - u_{0} = t\lambda(t), \quad v - v_{0} = t\lambda_{1}(t), \] where $\lambda$ and $\lambda_{1}$ are two holomorphic, and moreover arbitrary, functions of $t$ in the neighbourhood of $t = 0$.

Let $\mu$ be the value of the quotient $\dfrac{\lambda(0)}{\lambda_{1}(0)}$; to this value there will correspond

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only one point $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ on the curve $\Gamma$, and, reasoning as above, one sees that $x - x_{1}$ and $y - y_{1}$ can be developed according to the powers of $t$.

12. We therefore now know how to recognize whether the equations in total differentials \[ \begin{aligned} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}} &= du, \\ \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} &= dv \end{aligned} \] give for $x$ and $y$ single-valued functions of $u$ and $v$.

These functions will necessarily be quadruply periodic functions of $u$ and $v$. It is a point which is quite easy to establish; first of all the two integrals \[ \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int_{x_{0}, y_{0}, z_{0}}^{x, y, z} \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}} \] will evidently have no more than four pairs of periods, since the functions $x$ and $y$ given by the corresponding equations in total differentials are single-valued functions. On the other hand, the number of the periods will effectively be four; this is what results from the following theorem, which I confine myself to stating : $q$ distinct abelian integrals of the first kind corresponding to a curve of genus $p (q \leq p)$ cannot have fewer than $2q$ systems of simultaneous periods.

An interesting and simple particular case is that where the curve $\Gamma$ should not exist; in this case, the double curve of the surface would be of order $\dfrac{m(m - 4)}{2}$, and, for every system of values of $u$ and $v$ leaving $x$, $y$, $z$ finite, these functions have a perfectly determinate value.

Every surface whose coordinates are expressed, in the manner indicated, by quadruply periodic functions of two parameters gives examples of reduction in the number of the periods of certain abelian integrals corresponding to an algebraic curve. Let us consider an arbitrary plane section of the surface \[ f(x, y, z) = 0. \]

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Let \[ z = ax + by + c \] be the equation of the cutting plane; the curve \[ f(x, y, ax + by + c) = 0 \tag{C} \] presents an interesting peculiarity from the point of view of the reduction of the number of the periods of the corresponding abelian integrals. If, in fact, in the two integrals \[ \int \frac{B\,dx - A\,dy}{f'_{z}}, \quad \int \frac{B_{1}\,dx - A_{1}\,dy}{f'_{z}}. \] one replaces $z$ by \[ ax + by + c, \] $x$ and $y$ being then connected by the relation (C), one will have two integrals of the first kind corresponding to the curve (C), having only four pairs of simultaneous periods.

13. What are the surfaces of least degree whose coordinates can be expressed by single-valued quadruply periodic functions of two parameters, and in such a manner that to an arbitrary point of the surface there correspond, leaving aside multiples of the periods, only a single system of values of the parameters?

We have seen previously (Chap. II, nos. 4, 5, 6) that the surfaces of the fourth degree and the surfaces of the fifth degree could not have two distinct integrals of the first kind. We may therefore conclude from it the following theorem :

There exist no surfaces of the fourth and of the fifth degree whose coordinates are expressed in the manner indicated by quadruply periodic functions of two parameters.

It is among the surfaces of the sixth degree that one meets the first surfaces enjoying this property. Here is an example of it : let us set

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\[ \begin{aligned} x &= P(u), \\ y &= Q(v), \\ z &= P'(u) + Q'(v), \end{aligned} \tag{1} \] $P(u)$ denoting the doubly periodic function of $u$ connected to its derivative $P'(u)$ by the relation \[ P'(u) = \sqrt{aP^{3} + bP^{2} + cP + d}, \] and $Q(v)$ a doubly periodic function of $v$ defined by the relation \[ Q'(v) = \sqrt{\alpha Q^{3} + \beta Q^{2} + \gamma Q + \delta}. \]

The equations (1) therefore define the surface of the sixth degree \[ z = \sqrt{ax^{3} + bx^{2} + cx + d} + \sqrt{\alpha y^{3} + \beta y^{2} + \gamma y + \delta}. \tag{2} \]

To an arbitrary point $(x, y, z)$ there corresponds only a single system of values of $u$ and $v$. What are the singularities of the surface (2)? Let us write its equation under homogeneous form \[ zt^{\frac{1}{2}} = \sqrt{ax^{3} + bx^{2}t + cxt^{2} + dt^{3}} + \sqrt{\alpha y^{3} + \beta y^{2}t + \gamma yt^{2} + \delta t^{3}}. \]

It will have for double curve the cubic defined by the equations \[ z = 0, \quad ax^{3} + bx^{2}t + cxt^{2} + dt^{3} = \alpha y^{3} + \beta y^{2}t + \gamma yt^{2} + \delta t^{3}, \] and also the three straight lines \[ t = 0, \quad ax^{3} = \alpha y^{3}. \]

The double curve is therefore of the sixth degree, decomposing into a plane cubic and three straight lines.

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FOURTH PART.

1. We are going to consider, in this Chapter, the differential equations of the form \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \tag{1} \] $f$ being a polynomial. One knows that there exists an algebraic relation between a single-valued quadruply periodic function $u(x, y)$ and its two partial derivatives $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ and $\dfrac{\partial u}{\partial y}$. There will therefore be partial differential equations of the form (1) which one will be able to satisfy by taking for $u$ a single-valued quadruply periodic function of $x$ and $y$ : I propose to treat the inverse question, that is to say to recognize whether one can satisfy a given equation \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \] by taking for $u$ a single-valued quadruply periodic function of $x$ and $y$. One sees that it is the extension to the case of two variables of one of the problems treated by MM. Briot and Bouquet in their memorable Memoir on integration by elliptic functions, a problem whose object was to recognize whether the equation \[ f\left( u, \frac{du}{dz} \right) = 0 \] could be satisfied by a doubly periodic function of $z$.

We shall begin by proving the following theorem, which is fundamental for what is going to follow :

$u$ being a single-valued quadruply periodic function of $x$ and $y$, let \[ f(u, v, w) = 0 \]

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be the algebraic relation existing between $u$ and its partial derivatives $v = \dfrac{\partial u}{\partial x}$ and $w = \dfrac{\partial u}{\partial y}$. To an arbitrary point of the preceding surface there corresponds only a single system of values of $x$ and $y$, leaving aside, of course. multiples of the periods.

Let us consider, for the two independent variables $x$ and $y$, the domain which, following M. Kronecker's expression, one may call the prismatoid of the periods; let us suppose that to an arbitrary point $(u, v, w)$ of the surface $f$ there correspond $m$ systems of values of $x$ and $y$ \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{2}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{m}, y_{m}), \] let us consider the two sums $x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m}$ and $y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m}$ : since for each point $(u, v, w)$ these expressions have only one value, leaving aside multiples of periods, they are integrals of total differentials of the first kind. Let us suppose first that they reduce to constants. Let us designate by \[ (x'_{1}, y'_{1}), \quad (x'_{2}, y'_{2}), \quad \ldots, \quad (x'_{m}, y'_{m}) \] a second system of values, respectively neighbouring on the first, for which one will have \[ u(x'_{1}, y'_{1}) = u(x'_{2}, y'_{2}) = \ldots = u(x'_{m}, y'_{m}), \] and likewise for $v$ and $w$. We have, moreover, according to what we have just supposed, \[ \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} &= x'_{1} + x'_{2} + \ldots + x'_{m}, \\ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} &= y'_{1} + y'_{2} + \ldots + y'_{m}. \end{aligned} \tag{2} \]

Now one has, to within an infinitely small quantity with respect to $x'_{1} - x_{1}$ and $y'_{1} - y_{1}$, \[ u(x'_{1}, y'_{1}) - u(x_{1}, y_{1}) = (x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}}, \]

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and likewise \[ \begin{aligned} u(x'_{2}, y'_{2}) - u(x_{2}, y_{2}) &= (x'_{2} - x_{2})\frac{\partial u}{\partial x_{2}} + (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}}, \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ u(x'_{m}, y'_{m}) - u(x_{m}, y_{m}) &= (x'_{m} - x_{m})\frac{\partial u}{\partial x_{m}} + (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \]

Now $v = \dfrac{\partial u}{\partial x}$ and $w = \dfrac{\partial u}{\partial y}$ have the same values at \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{2}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{m}, y_{m}). \]

One has therefore \[ \begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x_{1}} &= \frac{\partial u}{\partial x_{2}} = \ldots = \frac{\partial u}{\partial x_{m}}, \\ \frac{\partial u}{\partial y_{1}} &= \frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots = \frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \tag{3} \]

From the preceding equalities one concludes \[ \begin{aligned} &(x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = (x'_{2} - x_{2})\frac{\partial u}{\partial x_{2}} + (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots \\ &\qquad = (x'_{m} - x_{m})\frac{\partial u}{\partial x_{m}} + (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}. \end{aligned} \]

Moreover, in virtue of the relations (2) and (3), the sum of all these expressions is zero; we may therefore write \[ (x'_{1} - x_{1})\frac{\partial u}{\partial x_{1}} + (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = 0, \] and, as $x'_{1} - x_{1}$ and $y'_{1} - y_{1}$ are in an arbitrary ratio, one would have \[ \frac{\partial u}{\partial x_{1}} = \frac{\partial u}{\partial y_{1}} = 0, \] and these two relations are evidently not verified for an arbitrary point $(x_{1}, y_{1})$. Consequently, to an arbitrary point of the surface \[ f(u, v, w) = 0 \]

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there corresponds only a single system of values of $(x, y)$, leaving aside multiples of the periods.

We have supposed, in what precedes, that the two sums \[ x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} \quad \text{and} \quad y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \] were constant, leaving aside multiples of periods. Let us examine the other circumstances which might present themselves.

We have said that the two preceding sums were necessarily integrals of total differentials of the first kind; these two integrals cannot be distinct. Let, in fact, \[ \int^{u, v, w} P\,du + Q\,dv \quad \text{and} \quad \int^{u, v, w} P_{1}\,du + Q_{1}\,dv, \] where $P$ and $Q$ are rational in $u$, $v$, $w$, be these two sums. On replacing $u$, $v$, $w$ by their value in $x$ and $y$, each of the preceding integrals becomes a linear function of $x$ and $y$; let them be \[ \alpha x + \beta y + \gamma \quad \text{and} \quad \alpha_{1}x + \beta_{1}y + \gamma_{1}. \]

If one did not have $\alpha\beta_{1} - \alpha_{1}\beta = 0$, one could take \[ \alpha x + \beta y \quad \text{and} \quad \alpha_{1}x + \beta_{1}y \] as new variables in place of $x$ and $y$, and one sees then that to a system of values $u$, $v$, $w$ there would correspond only a single system of values of $x$ and $y$.

Of the two integrals, one is therefore an integral function of the first degree of the other; let \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} = A(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m}) + B, \] $A$ and $B$ being constants.

Let us then take $y - Ax$ and $x$ as variables in $u$ and $v$, and let us designate $y - Ax$ by $y$, in order not to multiply the notations. In this case, the sum \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \]

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is constant, the sum \[ x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{m} \] being able to be variable. Under this hypothesis, this sum will represent, as we have said, an integral of the first kind and will be able, consequently, to be put under the form \[ \alpha x + \beta y + \gamma; \] $\alpha$ will not be zero, otherwise there would be, contrary to the hypothesis, only one value for $y$ corresponding to a point $(u, v, w)$. Let us therefore take \[ \alpha x + \beta y + \gamma \] for variable, designating it by $x$; in this manner, to an arbitrary point $(u, v, w)$ there correspond $m$ systems \[ (x_{1}, y_{1}), \quad (x_{1}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{1}, y_{m}), \] $x$ having the same value in each of these systems, and the sum \[ y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m} \] being constant.

Let us then repeat the mode of reasoning which we made use of above; we shall have \[ (y'_{1} - y_{1})\frac{\partial u}{\partial y_{1}} = (y'_{2} - y_{2})\frac{\partial u}{\partial y_{2}} = \ldots = (y'_{m} - y_{m})\frac{\partial u}{\partial y_{m}}, \] and, consequently, \[ y'_{1} - y_{1} = y'_{2} - y_{2} = \ldots = y'_{m} - y_{m}, \] if the common value of $\dfrac{\partial u}{\partial y_{1}}$, $\dfrac{\partial u}{\partial y_{2}}$, $\ldots$, $\dfrac{\partial u}{\partial y_{m}}$ is not zero, which will evidently take place for an arbitrary system $(x_{1}, y_{1})$.

But the sum $y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{m}$ remains constant, and one arrives, consequently, at the absurd result \[ y'_{1} = y_{1}, \quad y'_{2} = y_{2}, \quad \ldots, \quad y'_{m} = y_{m}. \]

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2. It results immediately from the preceding theorem that, if one can satisfy the equation \[ f\left( u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y} \right) = 0, \] by taking for $u$ a single-valued quadruply periodic function of $x$ and $y$, the surface \[ f(u, v, w) = 0 \] will fall into the class of surfaces of which we made the study in the preceding Chapter.

One will therefore have first of all to investigate whether one can express $u$, $v$, $w$ by quadruply periodic functions of two parameters $x$ and $y$. The surface must admit two integrals of the first kind \[ \int \frac{B\,du - A\,dv}{f'_{w}}, \quad \int \frac{B_{1}\,du - A_{1}\,dv}{f'_{w}}. \]

One must be able to find two independent linear combinations of these integrals such that the two equations in total differentials \[ \begin{aligned} \frac{(lB + mB_{1})\,du - (lA + mA_{1})\,dv}{f'_{w}} &= dx, \\ \frac{(nB + pB_{1})\,du - (nA + pA_{1})\,dv}{f'_{w}} &= dy \end{aligned} \tag{1} \] give for $u$, $v$, $w$ quadruply periodic functions of $x$ and of $y$, and such that \[ v = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad w = \frac{\partial u}{\partial y}. \]

Let us seek under what conditions one will be able to determine the four constants $(l, m, n, p)$ so that it be so; we shall have only to calculate $\dfrac{\partial u}{\partial x}$ and $\dfrac{\partial u}{\partial y}$ by means of the preceding equations. One finds at once, recalling that $BA_{1} - AB_{1}$ is divisible by $f'_{w}$, and setting, as above, \[ \begin{aligned} &BA_{1} - AB_{1} = f'_{w}Q(u, v, w), \\ &\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{nA + pA_{1}}{(lp - mn)Q(u, v, w)}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{lA + mA_{1}}{(lp - mn)Q(u, v, w)}. \end{aligned} \]

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We must therefore have \[ \begin{aligned} nA + pA_{1} &= (lp - mn)Q(u, v, w), \\ lA + mA_{1} &= -(lp - mn)Q(u, v, w), \end{aligned} \] and these relations, having to hold for every point of the surface, will be identities, since the degrees of the polynomials figuring in them are less than the degree of the surface.

We may therefore finally write \[ \begin{aligned} A &= -Q(u, v, w)(mv + pw), \\ A_{1} &= Q(u, v, w)(lv + nw). \end{aligned} \]

Thus the polynomials $A$ and $A_{1}$ must be divisible by $Q(u, v, w)$, and the quotients are homogeneous and linear in $v$ and $w$. When these conditions are fulfilled, one will have, by the very division of $A$ and $A_{1}$ by $Q$, the four constants $l$, $m$, $n$, $p$, and the equations in total differentials (1) which must give $u$ as a function of $x$ and $y$ will be completely determined.

3. The preceding considerations give us a solution of the proposed problem, but they require the preliminary search for the integrals of total differentials relative to the surface \[ f(u, v, w) = 0. \tag{1} \]

One may solve the problem otherwise, without passing through this preliminary search for the integrals of total differentials of the first kind, or at least deduce these integrals from the proposed equation and from a second equation which is formed immediately by means of an adjoint polynomial $Q$.

Let us designate as above (no. 3, Chap. III) by $Q(u, v, w)$ the adjoint polynomial of order $(m - 4)$; this polynomial will be determined to within a factor, since the surface $f$ must necessarily be of genus one. Let $Q$ be a perfectly determinate polynomial.

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One will have (see loc. cit.) \[ \frac{Q(u, v, w)\left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} \right)}{f'_{w}(u, v, w)} = a, \] $a$ being a constant, and this equation may be written \[ \frac{Q(u, v, w)\left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \right)}{f'_{w}(u, v, w)} = a. \tag{2} \]

From equation (1), we draw on the other hand \[ f'_{u} v + f'_{v}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + f'_{w}\frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y} = 0. \tag{3} \]

The equations (2) and (3) permit one to express $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ and $\frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y}$ as functions of $u$, $v$, $w$.

Carrying these values into the two equations \[ du = \frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \frac{\partial u}{\partial y}\,dy, \quad dv = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\,dx + \frac{\partial^{2} u}{\partial x\,\partial y}\,dy, \] we are going to draw from them \[ \begin{aligned} dx &= M\,du + N\,dv, \\ dy &= M_{1}\,du + N_{1}\,dv, \end{aligned} \] the $M$ and the $N$ being rational functions of $u$, $v$, $w$. One finds thus \[ \begin{aligned} dx &= \frac{\frac{a f'_{w} f'_{v} - v w Q f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}}\,du - Q w\,dv}{a f'_{w}}, \\ dy &= \frac{\frac{a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}}\,du + Q v\,dv}{a f'_{w}}. \end{aligned} \] $dx$ and $dy$ must be total differentials of the first kind. One must therefore be able to choose the constant $a$ in such a way that \[ \frac{a f'_{v} f'_{w} - v w Q f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}} \tag{4} \]

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can be put under the form of an integral polynomial in $u$, $v$, $w$, taking account however of the relation \[ f(u, v, w) = 0. \]

It will be the same for the expression \[ \frac{a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u}}{v f'_{v} + w f'_{w}} \tag{5} \] which, for the same value of $a$, must be equal to a polynomial. One will immediately have the value of $a$ which could fulfil the preceding conditions, by taking a system $(u, v, w)$ satisfying the two equations \[ v f'_{v} + w f'_{w} = 0, \quad f(u, v, w) = 0, \] and for which $f'_{w}$ is different from zero. The equation \[ a (f'_{w})^{2} + Q v^{2} f'_{u} = 0 \] will give the value of $a$, and it will simply remain to verify whether the two expressions (4) and (5) are susceptible of the form indicated. If it is so, one will have only to verify whether $dx$ and $dy$ are total differentials of the first kind, and the study will be completed as in the preceding number.

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Revision history (3)

2026-09-14 — Transcription completed (AI draft), pp. 301–346; the memoir is now whole.
2026-09-14 — Translation (en) added (AI draft).
2026-09-12 — Transcription added (AI draft), pp. 281–300 of 281–346.

@article{Picard1885Sur,
  author = {Picard, Émile},
  title = {Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce.},
  journal = {Journal de mathématiques pures et appliquées},
  volume = {4e série, tome 1},
  pages = {281–346},
  year = {1885},
  url = {http://www.numdam.org/item?id=JMPA_1885_4_1__281_0}
}

@misc{Picard1885Sur-rtm,
  author = {Picard, Émile},
  title = {Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce. --- LaTeX transcription},
  howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/picard-1885-integrales-differentielles-totales/}},
  note = {AI transcription (claude-opus-5); status: ai-draft. Original: Journal de mathématiques pures et appliquées 1885},
  year = {2026}
}

@misc{Picard1885Sur-en,
  author = {Picard, Émile},
  title = {On the integrals of algebraic total differentials of the first kind. --- English translation},
  howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/picard-1885-integrales-differentielles-totales/}},
  note = {English translation (AI, claude-opus-5); status: ai-draft},
  language = {English},
  year = {2026}
}

Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce.

Original (French)

Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de première espèce;

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE II.

TROISIÈME PARTIE.

QUATRIÈME PARTIE.

English translation

On the integrals of algebraic total differentials of the first kind;

FIRST PART.

CHAPTER II.

THIRD PART.

FOURTH PART.