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Plan der Untersuchung
Bekanntlich setzt die Geometrie sowohl den Begriff des Raumes, als die ersten
Grundbegriffe für die Constructionen im Raume als etwas Gegebenes voraus. Sie giebt
von ihnen nur Nominaldefinitionen, während die wesentlichen Bestimmungen in Form von
Axiomen auftreten.
Das Verhältniss dieser Voraussetzungen bleibt dabei im Dunkeln; man sieht weder ein,
ob und in wie weit ihre Verbindung nothwendig, noch a priori, ob sie möglich ist.
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Diese Dunkelheit wurde auch von Euklid bis auf Legendre, um den berühmtesten neueren
Bearbeiter der Geometrie zu nennen, weder von den Mathematikern, noch von den
Philosophen, welche sich damit beschäftigten, gehoben. Es hatte dies seinen Grund
wohl darin, dass der allgemeine Begriff mehrfach ausgedehnter Grössen, unter welchem
die Raumgrössen enthalten sind, ganz unbearbeitet blieb.
Ich habe mir daher zunächst die Aufgabe gestellt, den Begriff einer mehrfach
ausgedehnten Grösse aus allgemeinen Grössenbegriffen zu construiren.
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Plan of the Investigation
It is well known that geometry presupposes both the concept of space and the first
fundamental concepts for constructions in space as something given. It gives of them
only nominal definitions, while the essential determinations appear in the form of
axioms.
The relationship of these presuppositions thereby remains obscure; one sees neither
whether, and to what extent, their connection is necessary, nor a priori
whether it is possible.
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This obscurity was, from Euclid down to Legendre — to name the most celebrated modern
reviser of geometry — removed neither by the mathematicians nor by the philosophers
who occupied themselves with it. The reason for this lay presumably in the fact that
the general concept of multiply extended magnitudes, under which spatial magnitudes are
contained, remained wholly unelaborated.
I have therefore first set myself the task of constructing the concept of a multiply
extended magnitude out of general notions of magnitude.
@article{Riemann1868Uber,
author = {Riemann, Bernhard},
title = {Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen},
journal = {Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen},
volume = {13},
pages = {133–150},
year = {1868},
url = {https://www.digizeitschriften.de/id/252457811_0013}
}@misc{Riemann1868Uber-rtm,
author = {Riemann, Bernhard},
title = {Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen --- LaTeX transcription},
howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.pages.dev/works/riemann-1868-hypothesen/}},
note = {AI transcription (claude-opus-4-8); status: skimmed. Original: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1868},
year = {2026}
}@misc{Riemann1868Uber-en,
author = {Riemann, Bernhard},
title = {On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry --- English translation},
howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.pages.dev/works/riemann-1868-hypothesen/}},
note = {English translation (AI, claude-opus-4-8); status: ai-draft},
language = {English},
year = {2026}
}@article{Riemann1868Uber-Clifford1873,
author = {Riemann, Bernhard},
title = {On the Hypotheses which lie at the Bases of Geometry},
note = {Translated by William Kingdon Clifford},
journal = {Nature, vol. VIII, nos. 183, 184},
year = {1873},
url = {https://www.nature.com/articles/008036a0}
}